Fredholm and Volterra Integral Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fredholm and Volterra Integral Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

y(x) = 1 + x + y(t)dt

यहाँ कर्नेल k(x, t) = e^x-t केवल x - t के अंतर का फलन है। इसलिए वोल्टेरा समाकल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

y(x) = 1 + x + k(x)*y(x)

लाप्लास रूपांतरण लेने पर हमें प्राप्त होता है

Y(s) = जहाँ L{y(x)} = Y(s)

⇒

⇒ Y(s). =

⇒ Y(s) = x

⇒ Y(s) =

आंशिक योग का उपयोग करके

=

इसलिए प्रतिलोम लाप्लास रूपांतरण लेने पर हमें प्राप्त होता है

y(x) =

विकल्प (3) सही है।

अवधारणा:

मान लीजिये द्वितीय प्रकार का वोल्टेरा समाकल समीकरण है

y(x) = f(x) + λ जहाँ K(x,t) 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ t ≤ x पर सतत फलन है

और f(x), 0 ≤ x ≤ a पर सतत है।

तब पुनरावृति कर्नेल दिया गया है

K₁(x, t) = K(x, t)

K_n(x, t) =

और समाधान कर्नेल है

R(x, t; λ) = तब वोल्टेरा समाकल समीकरण का हल है

y(x) = f(x) + λ

व्याख्या:

यहाँ, f(x) = e^x, K(x, t) = , λ = 1

K1(x, t) = K(x, t) =

K2(x, t) = = (x - t)

K3(x, t) = =

इस प्रक्रिया को जारी रखने पर हमें मिलता है

Kn(x, t) =

इसलिए, समाधान कर्नेल है

R(x, t; 1) = =

तब हल है

y(x) = e^x +

⇒ y(x) = ex + e^x(1+x²)

⇒ y(x) = ex + ex(1+x2)tan^-1x

इसलिए

y(1) = e + e(2) =

= =

विकल्प (2) और (4) सत्य हैं और (1) और (3) असत्य हैं।

संप्रत्यय -

(1) = cosh x =

व्याख्या:

मान लीजिये g(x) = 1 + ₀∫^x (x - t) g(t)dt

{g(x)} = {1} + {(x - t) * g(t)}

{g(x)} = + {x} x {g(x)}

{g(x)} = {g(x)}

{g(x)}

{g(x)} =

g(x) =

g(x) = cosh x =

g(1) =

इसलिए, सही उत्तर है

व्याख्या:

मान लीजिये ----(1)

दिये गये समीकरण को अवकलित करने पर -

φ₁'(x) = cosx + φ₂(x) ......(2)

φ₁"(x) = - sin x + φ₂'(x) .......(3)

अब, दिये गये समीकरण को अवकलित करने पर -

φ₂'(x) = sin x - φ₁(x)

अब हमारे पास (3) से -

φ₁" (x) = -sin x + φ2'(x)

φ2'(x) का मान रखने पर, हमें मिलता है

φ1" (x) = -sin x + sin x - φ1(x)

φ1" (x) + φ1(x) = 0

φ1(x) = c₁cosx + c₂ sin x

अब, (1) में ϕ (0) रखने पर।

ϕ1(0) = 0

अब, ϕ₁(x) = c₂ sin(x)

पुनः अवकलित करने पर और x = 0 रखने पर

हमें c₂ = 1 प्राप्त होता है

ϕ₁(x) = sinx

जो x = nπ पर शून्य है जहाँ n ∈ Z

अब, (2) से -

φ1'(x) = cosx + φ2(x)

φ₂(x) = φ₁'(x) - cos x

φ2(x) = cosx - cos x = 0

φ₂ (x) = 0

जो हर जगह शून्य है

इसलिए, φ1 अधिकतम गणनीय बिंदुओं पर लुप्त होता है और φ2 अगणनीय बिंदुओं पर लुप्त होता है।

अवधारणा:

अवकलन के लिए लाइबनीज नियम:

=

व्याख्या:

(1):

K(x, t) = x\end{cases}\)">

इसलिए

y(x) = 2 K(x, t) y(t) dt

⇒ y(x) = 2 t(1 - x)ydt + 2 x(1 - t)ydt....(i)

⇒ y' = 2(-t)y(t)dt + x(1 - x)y(x) - 0 + 21(1-t)y(t)dt + 0 -x(1 - x)y(x).1

⇒ y' = 2(-t)y(t)dt + 2(1 - t)y(t)dt

⇒ y'' = 2[0 - xy(x).1 - 0] + 2[0 + 0 -(1 - x)y(x)]

⇒ y'' = -2y(x)

⇒ y''(x) + 2y(x) = 0

(i) द्वारा भी

y(0) = 2 t(1 - 0)ydt + 2 0(1 - t)ydt = 0 और

y(1) = 2 t(1 - 1)ydt + 2 1(1 - t)ydt = 0

इसलिए संतुष्ट करता है

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

अवकलन के लिए लाइबनीज नियम:

=

व्याख्या:

(1):

K(x, t) = x\end{cases}\)">

इसलिए

y(x) = 2 K(x, t) y(t) dt

⇒ y(x) = 2 t(1 - x)ydt + 2 x(1 - t)ydt....(i)

⇒ y' = 2(-t)y(t)dt + x(1 - x)y(x) - 0 + 21(1-t)y(t)dt + 0 -x(1 - x)y(x).1

⇒ y' = 2(-t)y(t)dt + 2(1 - t)y(t)dt

⇒ y'' = 2[0 - xy(x).1 - 0] + 2[0 + 0 -(1 - x)y(x)]

⇒ y'' = -2y(x)

⇒ y''(x) + 2y(x) = 0

(i) द्वारा भी

y(0) = 2 t(1 - 0)ydt + 2 0(1 - t)ydt = 0 और

y(1) = 2 t(1 - 1)ydt + 2 1(1 - t)ydt = 0

इसलिए संतुष्ट करता है

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

∫_a^x{(k(x-t)y(t)dt} के प्रकार का समाकल समीकरण

जहाँ a एक स्थिर स्थिरांक है और x एक चर है, k(x-t) कर्नेल है।

c एक शून्येतर वास्तविक या सम्मिश्र प्राचल है। इस समीकरण को वोल्टेरा समाकल समीकरण कहा जाता है।

यदि g(x) = 0, तो इसे वोल्टेरा समाकल समीकरण का प्रथम प्रकार कहा जाता है।

व्याख्या:

दिया गया है

∫₀^x{(x-t)u(t)dt = x; x ≥ 0}

समाकल चिह्न के अंतर्गत लेबनीज नियम के अवकलन का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

∂/∂x ∫₀^x{(x-t)u(t)dt = 1}

∫₀^x{u(t)dt = 1}

पुनः लेबनीज नियम का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

∂/∂x ∫₀^x{u(t)dt = 0}

u(x) = 0, लेकिन

∫₀^x{u(t)dt = 0} x=0 पर और 1 के बराबर नहीं है।

इसलिए विकल्प (2) सही है।

अवधारणा:

मान लीजिये द्वितीय प्रकार का वोल्टेरा समाकल समीकरण है

y(x) = f(x) + λ जहाँ K(x,t) 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ t ≤ x पर सतत फलन है

और f(x), 0 ≤ x ≤ a पर सतत है।

तब पुनरावृति कर्नेल दिया गया है

K₁(x, t) = K(x, t)

K_n(x, t) =

और समाधान कर्नेल है

R(x, t; λ) = तब वोल्टेरा समाकल समीकरण का हल है

y(x) = f(x) + λ

व्याख्या:

यहाँ, f(x) = e^x, K(x, t) = , λ = 1

K1(x, t) = K(x, t) =

K2(x, t) = = (x - t)

K3(x, t) = =

इस प्रक्रिया को जारी रखने पर हमें मिलता है

Kn(x, t) =

इसलिए, समाधान कर्नेल है

R(x, t; 1) = =

तब हल है

y(x) = e^x +

⇒ y(x) = ex + e^x(1+x²)

⇒ y(x) = ex + ex(1+x2)tan^-1x

इसलिए

y(1) = e + e(2) =

= =

विकल्प (2) और (4) सत्य हैं और (1) और (3) असत्य हैं।

संकल्पना:

y(x) = f(x) + λ

जहाँ K(x, t) = f1(x, t)g1(x, t) + f2(x, t)g2(x, t) + .....

तो इस समाकल समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

AX = B जहाँ

A = , , , B =

व्याख्या:

φ(x) = λ sin (x + t) φ(t) dt

इसलिए K(x, t) = sin(x+t) = sin x cos t + cos x sin t

a11 = = = 0

a12 = = = π

a21 = = = π

a22 = = = 0

इसलिए A =

|A| = 0 ⇒ 1 - = 0 ⇒

मान लीजिए

इसी प्रकार ψ(x) = μ cos (x + t) ψ(t) dt.

इसलिए K(x, t) = cos(x+t) = cos x cos t - sin x sin t

a11 =

a12 = = 0

a21 = = 0

a22 = = -

इसलिए A =

|A| = 0 ⇒ 1 - = 0 ⇒

मान लीजिए

इसलिए विकल्प (1), (3) सही हैं