Improper Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Improper Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

अनंत पर अभिसरण:

मान लीजिए कि f(x) एक वास्तविक या सम्मिश्र मान फलन है। फलन f(x) अनंत पर एक सीमा L तक अभिसरित होता है यदि

इसका अर्थ है कि जैसे x असीम रूप से बढ़ता है (अनंत की ओर अग्रसर है), फलन का मान L की ओर अग्रसर है।

व्याख्या:

1.

2. के लिए

हमें यह मूल्यांकन करने की आवश्यकता है कि ये समाकल किस स्थिति में अभिसरित होते हैं।

एक अनुचित समाकल है क्योंकि समाकलज को पर समस्या हो सकती है, जहाँ .

अच्छी तरह से व्यवहार करता है और शून्य नहीं है, इसलिए समाकलज विचलन की कोई समस्या उत्पन्न नहीं करता है।
अंतराल पर, फलन शून्य से दूर परिबद्ध रहता है, और समाकलज परिमित और समाकलनीय है।

इस प्रकार, समाकल I अभिसारी है।

विकल्प 1: I अभिसारी है → सत्य है। 

विकल्प 2: I अभिसारी नहीं है → असत्य है। 

का विश्लेषण करें

हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि के किन मानों के लिए यह समाकल अभिसरित होता है।

चूँकि  है, समाकलज के रूप में व्यवहार करता है क्योंकि वर्गमूल पद में 1 पर हावी है। का समाकल

पर अभिसारी है क्योंकि घातांक 1 से अधिक है।

इसलिए, बड़े x के लिए, समाकल अभिसरित होता है।

x = 0 पर, समाकलज के रूप में व्यवहार करता है जब x छोटा होता है)। 0 के पास का समाकल अपसारी होता है क्योंकि यह  के रूप में व्यवहार करता है चूँकि  है। 

इसलिए, ,  0\) के लिए अभिसरित होता है, लेकिन के लिए अपसारित होता है।

विकल्प 3: समाकल के लिए अभिसरित होता है लेकिन के लिए नहीं → सत्य है। 

विकल्प 4: समाकल सभी के लिए अभिसरित होता है → असत्य (चूँकि यह के लिए अपसारित होता है)

इसलिए, सही विकल्प 1) और 3) हैं।

प्रयुक्त अवधारणा:

परिबद्ध: किसी भी फलन f के परिबद्ध होने के लिए M > 0 का अस्तित्व होना चाहिए जिससे कि सभी x ∈ R के लिए |f(x)| ≤ M हो।

व्याख्या:

दिया गया फलन f(x) = dt है

जैसा कि हम जानते हैं, फलन cos t परिबद्ध है क्योंकि सभी t के लिए |cos t| ≤ 1, और हर x2 + t2 हमेशा t2 से बड़ा है क्योंकि x2 ≥ 0.

⇒

समाकल एक p-समाकल है जहाँ p = 2, जो अभिसारी ज्ञात है।

⇒

इसलिए, सभी x ∈ ℝ के लिए, फलन f(x) |f(x)| ≤ 1 को संतुष्ट करता है, और इसलिए f(x) ℝ पर M = 1 के बंध के साथ परिबद्ध है।

फलन f(x) = की सांतत्य के लिए

मान लीजिये x, y ∈ ℝ, इस प्रकार कि

⇒

⇒

⇒

चूँकि cos t -1 और 1 द्वारा परिबद्ध है, हम इसे और सरल कर सकते हैं:

इसलिए, यदि x → y तो → 0 और, तुलना द्वारा, f(x) → f(y).

इस प्रकार, यह समाकल सभी
x और y के लिए अभिसारित होता है जहाँ x > 0. इसलिए, ∣f(x)−f(y)∣ सुपरिभाषित और परिमित है।

इस प्रकार, f(x) अपने प्रांत में संतत है।

इस प्रकार, विकल्प 1 और 2 सही हैं।

व्याख्या:

= =

इसलिए, I_λ λ

= =

इसलिए K_λ λ > 1 के लिए अभिसारी है।

(1): λ = 1/3 के लिए, Iλ अभिसारी है लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।

इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Iλ अभिसारी है, लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।

(1) सही है

(2): λ = 2 के लिए, Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।

इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।

(2) सही है

ऐसा कोई λ नहीं है जिसके लिए Iλ, Kλ दोनों अभिसारी हों।

(3) गलत है

λ = 1 के लिए, न तो Iλ, और न ही Kλ अभिसारी है।

(4) सही है।

दिया गया है -

स्पष्टीकरण -

स्पष्ट रूप से उपरोक्त फलन की सीमा अस्तित्व में है इसलिए यह [0, ∞) पर संतत है।​

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

सीमा तुलना परीक्षण: माना , , x = a पर अनंत असतत के उभयनिष्ट बिंदु है। यदि सीमा L =  परिमित रूप से अस्तित्व में है और L > 0 है, तब  और  एक साथ अभिसारी और अपसारी है।

स्पष्टीकरण:

I = 

माना f(x) = 

तब, 1 अनंत असतत का एक मात्र बिंदु है

माना g(x) = 

 = 

                   =  (L' हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर)

                  = 1 ≠ 0

इसलिए,  और  एक साथ अभिसारी और अपसारी है

लेकिन,  अपसारी है, इसलिए  अपसारी है 

 (2) सही है 

अवधारणा:

को अनुचित अभिन्न अंग कहा जाता है यदि f(a) या f(b) मौजूद नहीं है

स्पष्टीकरण:

= = 2√x, जो [0, ∞) में सतत है

(1) सही है

व्याख्या:

अनुचित समाकल: अनुचित समाकल दो प्रकार के परिमित समाकलनों में से एक होता है, जहाँ या तो समाकलन का अंतराल अपरिबद्ध (एक या दोनों सीमाएँ अपरिमित होती हैं) होता है।

समाकल्य फलन में समाकलन का परास में एक या अधिक विशिष्टता होती हैं।

व्याख्या:

दिया गया है

यदि p

स्थिति I: यदि p ∈ (-1, 0) तब

≤ (∵ sin t ≤ t सभी ∈ (-1, 0) के लिए)

I_p ≤

अतः I_p, p ∈ (-1, 0) के लिए अभिसारी है।

इसलिए lp p = -1/2 के लिए अभिसारी है।

विकल्प (1) सही है।

स्थिति II: यदि p ∈ (-2, -1) तब

(चूँकि sin t ≥ t/2, ∈ (-2, -1) के लिए)

I_p ≥

अब चूँकि , p ∈ (-2, -1) अपसारी है, तब I_p, p ∈ (-2, -1) के लिए अपसारी है।

इसलिए lp p = -3/2 के लिए अपसारी है और lp p = -4/3 के लिए अपसारी है।

विकल्प (2), (4) सही हैं।

यदि p = 4/3 तब रीमान समाकलनीय है इसलिए अभिसारी है।

विकल्प (3) सही है।

सभी विकल्प सही हैं।

दिया गया है -

स्पष्टीकरण -

स्पष्ट रूप से उपरोक्त फलन की सीमा अस्तित्व में है इसलिए यह [0, ∞) पर संतत है।​

इसलिए विकल्प (1) सही है।

अवधारणा:

सीमा तुलना परीक्षण: माना , , x = a पर अनंत असतत के उभयनिष्ट बिंदु है। यदि सीमा L =  परिमित रूप से अस्तित्व में है और L > 0 है, तब  और  एक साथ अभिसारी और अपसारी है।

स्पष्टीकरण:

I = 

माना f(x) = 

तब, 1 अनंत असतत का एक मात्र बिंदु है

माना g(x) = 

 = 

                   =  (L' हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करने पर)

                  = 1 ≠ 0

इसलिए,  और  एक साथ अभिसारी और अपसारी है

लेकिन,  अपसारी है, इसलिए  अपसारी है 

 (2) सही है 

अवधारणा-

प्रत्येक पूर्णतः अभिसारी अपरिमित समाकलन सदैव अभिसारी होता है लेकिन सामान्यतः विपरीत सत्य नहीं होता।

व्याख्या:

प्रत्येक पूर्णतः अभिसारी अपरिमित समाकलन अभिसारी होता है।

(4) सही है

गणना:

जब उच्च सीमा ∞ और निम्न सीमा 0 होती है, तब अनंत समाकल  ∫ e-x  dx का मान  

⇒

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

अनंत पर अभिसरण:

मान लीजिए कि f(x) एक वास्तविक या सम्मिश्र मान फलन है। फलन f(x) अनंत पर एक सीमा L तक अभिसरित होता है यदि

इसका अर्थ है कि जैसे x असीम रूप से बढ़ता है (अनंत की ओर अग्रसर है), फलन का मान L की ओर अग्रसर है।

व्याख्या:

1.

2. के लिए

हमें यह मूल्यांकन करने की आवश्यकता है कि ये समाकल किस स्थिति में अभिसरित होते हैं।

एक अनुचित समाकल है क्योंकि समाकलज को पर समस्या हो सकती है, जहाँ .

अच्छी तरह से व्यवहार करता है और शून्य नहीं है, इसलिए समाकलज विचलन की कोई समस्या उत्पन्न नहीं करता है।
अंतराल पर, फलन शून्य से दूर परिबद्ध रहता है, और समाकलज परिमित और समाकलनीय है।

इस प्रकार, समाकल I अभिसारी है।

विकल्प 1: I अभिसारी है → सत्य है। 

विकल्प 2: I अभिसारी नहीं है → असत्य है। 

का विश्लेषण करें

हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि के किन मानों के लिए यह समाकल अभिसरित होता है।

चूँकि  है, समाकलज के रूप में व्यवहार करता है क्योंकि वर्गमूल पद में 1 पर हावी है। का समाकल

पर अभिसारी है क्योंकि घातांक 1 से अधिक है।

इसलिए, बड़े x के लिए, समाकल अभिसरित होता है।

x = 0 पर, समाकलज के रूप में व्यवहार करता है जब x छोटा होता है)। 0 के पास का समाकल अपसारी होता है क्योंकि यह  के रूप में व्यवहार करता है चूँकि  है। 

इसलिए, ,  0\) के लिए अभिसरित होता है, लेकिन के लिए अपसारित होता है।

विकल्प 3: समाकल के लिए अभिसरित होता है लेकिन के लिए नहीं → सत्य है। 

विकल्प 4: समाकल सभी के लिए अभिसरित होता है → असत्य (चूँकि यह के लिए अपसारित होता है)

इसलिए, सही विकल्प 1) और 3) हैं।

व्याख्या:

= =

इसलिए, I_λ λ

= =

इसलिए K_λ λ > 1 के लिए अभिसारी है।

(1): λ = 1/3 के लिए, Iλ अभिसारी है लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।

इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Iλ अभिसारी है, लेकिन Kλ अभिसारी नहीं है।

(1) सही है

(2): λ = 2 के लिए, Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।

इसलिए, ऐसा λ है जिसके लिए Kλ अभिसारी है, लेकिन Iλ अभिसारी नहीं है।

(2) सही है

ऐसा कोई λ नहीं है जिसके लिए Iλ, Kλ दोनों अभिसारी हों।

(3) गलत है

λ = 1 के लिए, न तो Iλ, और न ही Kλ अभिसारी है।

(4) सही है।