वर्ग समीकरण MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Quadratic Equation - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

मुळांची बेरीज = 4 - 3√(2)

मुळांचा गुणाकार = -28

वापरलेले सूत्र:

मुळांच्या बेरजेवर (S) आणि गुणाकारावर (P) आधारित वर्गसमीकरण असे आहे:

x² - (मुळांची बेरीज) × x + मुळांचा गुणाकार = 0

गणना:

मुळांची बेरीज = 4 - 3√(2) आणि मुळांचा गुणाकार = -28 ची मूल्ये ठेवून:

⇒ x2 - (4 - 3√2) × x + (-28) = 0

⇒ x2 - (4x - 3√2x) - 28 = 0

वर्गसमीकरण x² - (4 - 3√2)x - 28 = 0 असे आहे.

दिलेले आहे:

(2x + 3)² - (x + 1)²

वापरलेले सूत्र:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

गणना:

(2x + 3)² - (x + 1)²

⇒ [(2x)² + 2 x 2x x 3 + 3²] - [(x)² + 2 x x x 1 + 1²]

⇒ [4x² + 12x + 9] - [x² + 2x + 1]

⇒ 4x² + 12x + 9 - x² - 2x - 1

⇒ (4x² - x²) + (12x - 2x) + (9 - 1)

⇒ 3x² + 10x + 8

∴ पर्याय (4) योग्य आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

वर्गसमीकरण x² - 2x + 13 = 0 आहे

वापरलेले सूत्र:

ax² + bx + c = 0 या वर्गसमीकरणाचा विवेचक (D) खालीलप्रमाणे दिला जातो:

D = b² - 4ac

येथे: a = x² चा सहगुणक, b = x चा सहगुणक, आणि c = स्थिर पद.

गणना:

येथे, a = 1, b = -2, c = 13

⇒ D = (-2)² - 4 x 1 x 13

⇒ D = 4 - 52

⇒ D = -48

विवेचक (D) ऋण असल्याने, वर्गसमीकरणाला कोणतीही वास्तविक मूळे नाहीत.

∴ योग्य उत्तर पर्याय (2) आहे.

दिलेले:

दिलेली वर्गसमीकरणे:

1) 2x² + Kx + 8 = 0

2) 3x² + 4x + 12 = 0

दोन्ही समीकरणांची मुळे समान आहेत.

वापरलेले सूत्र:

जर दोन वर्गसमीकरणांची मुळे समान असतील, तर त्यांच्या गुणांकांचे संबंधित गुणोत्तर समान असले पाहिजे:

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) , जिथे:

a₁, b₁, c₁ हे पहिल्या समीकरणाचे गुणांक आहेत आणि a₂, b₂, c₂ हे दुसऱ्या समीकरणाचे गुणांक आहेत.

गणना:

गुणांकांची तुलना करून:

⇒ \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{K}{4} = \dfrac{8}{12}\)

समान करा: 2/3 = k/4

⇒ \(\dfrac{K}{4} = \dfrac{2}{3}\)

⇒ K = \(\dfrac{2}{3} \times 4\) = \(\dfrac{8}{3}\)

∴ K चे योग्य मूल्य \(\dfrac{8}{3}\) आहे, जी पर्याय (4) ला संबंधित आहे.

संकल्पना:

दिलेल्या समीकरणाचे घटक बनवा

स्पष्टीकरण :

x2 - 7x + 12 = 0

x2 - 3x - 4x + 12 = 0

x(x - 3) - 4(x - 3) = 0

(x - 3)(x - 4) = 0

x = 3, 4

म्हणून, α = 3, β = 4

म्हणून, α2 + β2  = 32 + 42  = 9 + 16 = 25 चे मूल्य

म्हणून, योग्य उत्तर पर्याय 4 आहे.

दिलेले समीकरण 3x2 – ax + 6 = ax2 + 2x + 2 आहे

⇒ 3x2 – ax2 – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x2 – (a + 2)x + 4 = 0

जसे समीकरणाला फक्त (एक आवर्ती उकल) आहे

⇒ D = B2 – 4AC = 0

⇒ (a + 2)2 – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a2 + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a2 + 20a – 44 = 0

⇒ a2 + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

दिलेल्याप्रमाणे:

x2 – x – 1 = 0

वापरलेले सूत्र:

जर दिलेले समीकरण ax² + bx + c = 0 आहे

तर मूळांची बेरीज = -b/a

आणि मूळांचा गुणाकार = c/a

गणना:

α आणि β हे x² – x – 1 = 0 चे मूळ आहेत, तर

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

आता, जर (α/β) आणि (β/α) हे मूळ आहेत तर,

⇒ मूळांची बेरीज = (α/β) + (β/α)

⇒ मूळांची बेरीज = (α² + β²)/αβ

⇒ मूळांची बेरीज = [(α + β)² – 2αβ]/αβ

⇒ मूळांची बेरीज = (1)² – 2(-1)]/(-1) = -3

⇒ मूळांचा गुणाकार = (α/β) × (β/α) = 1

आता, तर समीकरण आहे,

⇒ x² – (मूळांची बेरीज) x + मूळांचा गुणाकार = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

दिलेल्याप्रमाणेः,

दोन वर्गमूळ 2 + √5 आणि 2 - √5 आहेत.

वापरलेली संकल्पनाः

वर्ग समीकरणः

x2 - (वर्गमुळांची बेरीज)x + वर्गमुळांचा गुणाकार = 0

गणनाः

दोन वर्गमूळ A आणि B मानू.

⇒ A = 2 + √5 आणि B = 2 - √5

⇒ A + B = 2 + √5 + 2 - √5 = 4

⇒ A × B = (2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -1

तर समीकरण आहे

∴ x2 - 4x - 1 = 0

वर्ग समीकरणासाठी ax2 + bx + c = 0,

वर्गमुळांची बेरीज = (-ब / अ) = 4/1

वर्गमुळांचा गुणाकार = c / a = -1/1

नंतर, b = -4

तर, x च्या गुणकांचे चिन्ह ऋण आहे.

3x2 + ax + 4  हे x – 5 ने पूर्णतः विभाज्य आहे,

⇒ 3 × 25 + 5a + 4 = 0

⇒ 5a = -79

∴ a = -15.8

दिलेल्याप्रमाणे:

द्विघात समीकरण kx (x - 2) + 6 = 0

वापरलेले सूत्र:

b2 = 4ac

गणना:

kx(x – 2) + 6 = 0

⇒ kx ² – 2kx + 6 = 0

मुळे समान असल्याने

⇒ b ² = 4ac

⇒ (-2k) ² = 4 × k × 6

⇒ 4k ² = 4k(6)

⇒ k = 6

∴ k चे मूल्य 6 आहे.

दिलेले आहे:

5x2 + 2x + Q = 2

दिलेले आहे, α = 1/β ⇒ α.β = 1 ----(i)

संकल्पना:

समजा, ax² + bx + c = 0 हे वर्गसमीकरणाचे सामान्य रूप आहे असे गृहीत धरू.

समजा, α व β ही दिलेल्या वर्गसमीकरणाची मुळे आहेत.

मुळांची बेरीज:

α + β = − b/a = −(x चा सहगुणक / x² चा सहगुणक)

मुळांचा गुणाकार:

α × β = c/a = (स्थिर पद / x² चा सहगुणक)

गणना:

समजा, 5x² + 2x + Q - 2 = 0 या समीकरणाची मुळे α व β आहेत.

ax² + bx + c = 0 या सामान्य वर्गसमीकरणाशी तुलना केल्यास,

a = 5, b = 2, c = Q - 2

वापरलेल्या संकल्पनेनुसार ⇒ α.β = (Q – 2)/5 ----(ii)

समीकरण (i) व (ii) वरून,

आपल्याला मिळेल, (Q – 2)/5 = 1

∴ Q चे मूल्य 7 आहे.

म्हणून, Q² = 7² = 49.

⇒ 6x² + 3x² – 5x + 1

⇒ 9x² – 5x + 1

समजा a आणि b ही समीकरणांची दोन मुळे आहेत

जसे आपणास माहित आहे,

मुळांची बेरीज (α + β) = (-b)/a = 5/9

मुळांचा गुणाकार (αβ) = c/a = 1/9

प्रश्नानुसार

⇒ 1/α + 1/β

⇒ (α + β)/αβ

दिलेल्याप्रमाणे:

दिलेले समीकरण ax2 + x + b = 0 आहे

वापरलेली संकल्पना:

चतुर्भुज समीकरणाचे सामान्य स्वरूप ax2 + x + b = 0 आहे

मूळांकरिता अट,

समान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac = 0 

असमान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac > 0

काल्पनिक मुळांसाठी, b2 – 4ac < 0 

गणना:

समान आणि वास्तविक मुळांसाठी, b2 – 4ac = 0 

⇒ b2 = 4ac

चतुर्भुज समीकरणाच्या सामान्य स्वरूपाशी तुलना केल्यानंतर आपल्याला मिळेल

b = 1, a = a आणि c = b

नंतर, b2 = 4ac

⇒ 1 = 4ab

⇒ ab = 1/4

∴ योग्य संबंध ab = 1/4 आहे

दिल्याप्रमाणे:

समीकरणाचे एक मूळ  \(5 - 2\sqrt 5 \) आहे

संकल्पना: 

जर वर्ग समीकरणाचे एक मूळ \(\left( {a + \sqrt b } \right)\)या स्वरुपात असेल तर इतर मूळ संयुग्मी \(\left( {a - \sqrt b } \right)\)असतील आणि याउलट.

वर्ग समीकरण: x² - (वर्गमूळांची बेरीज) + (वर्गमूळांचा गुणाकार) = 0

पडताळा: 

समजा α = \(5 - 2\sqrt 5 \) आणि β = \(5 + 2\sqrt 5 \)  आहे

वर्गमूळांची बेरीज = α + β = \(5 - 2\sqrt 5 + 5 + 2\sqrt 5 = 10\)  

वर्गमूळां​चा गुणाकार = α β = \(\left( {5 - 2\sqrt 5 } \right)\left( {5 + 2\sqrt 5 } \right)\) = 25 - 20 = 5

आता, वर्ग समीकरण = x² - 10x + 5 = 0 

म्हणून आवश्यक वर्ग समीकरण x² - 10x + 5 = 0 आहे

दिलेले आहे:

समीकरण x2 − 4x + k = 0

वापरलेली संकल्पना:

चतुर्भुज समीकरणाची मुळे समीकरणाचे समाधान करतात, म्हणून एका रूटचे मूल्य टाकून, एक अज्ञात चल शोधू शकतो आणि म्हणून दुसरे मूळ होय.

गणना:

समीकरणात x 3 असू द्या

तर,

x² – 4x + k = 0

⇒ 9 – 12 + k = 0

⇒ k = 3

समीकरणात k चे मूल्य टाकल्यास आपल्याला मिळते:

x² – 4x + 3 = 0

⇒ x² – 3x – x + 3 = 0

⇒ x(x – 3) – 1(x – 3) = 0

⇒ (x – 3)(x – 1) = 0

⇒ x = 3 आणि 1 

∴ समीकरणाचे दुसरे मूळ 1 आहे.