44 kg द्रव्यमान वाली एक रेफ्रिजरेटर इकाई को 3 स्प्रिंग्स (समान कठोरता = k) पर सहारा दिया जाना है। यदि इकाई 450 rpm पर संचालित होती है, तो कठोरता (= k) क्या होगी यदि केवल 10% कंपन बल को सहायक संरचना में संचारित करने की अनुमति है? [मान लें, π² = 10]

व्याख्या:

सबसे पहले, आइए संचालन गति को rpm से रेडियन प्रति सेकंड में बदलते हैं:

संचालन गति (ω) रेडियन प्रति सेकंड में = 2π x (rpm / 60)

यह दिया गया है कि rpm 450 है, हमारे पास है:

ω = 2 x π x (450 / 60)

ω = 2 x π x 7.5

ω = 15π rad/s

यह दिया गया है कि π² = 10, हम 10 का वर्गमूल लेकर π ज्ञात कर सकते हैं:

π = √10

अब, ω = 15 x √10 rad/s

अगला, आइए सूत्र का उपयोग करके सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति (ωₙ) की गणना करें:

ωₙ = √(k/m)

जहाँ m रेफ्रिजरेटर इकाई का द्रव्यमान (44 kg) है और k प्रत्येक स्प्रिंग की कठोरता है। चूँकि समान कठोरता के 3 स्प्रिंग हैं, प्रभावी कठोरता (kₑ) है:

kₑ = 3k

इसलिए, प्राकृतिक आवृत्ति का सूत्र बन जाता है:

ωₙ = √(3k / 44)

अनुमत कठोरता निर्धारित करने के लिए, हम दी गई शर्त का उपयोग करते हैं कि केवल 10% कंपन बल को सहायक संरचना में संचारित करने की अनुमति है। यह 0.1 के संचारण अनुपात (T) से मेल खाता है।

संचारण अनुपात (T) दिया गया है:

\( T_r = \frac{1}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}} \)

जहाँ ζ अवमंदन अनुपात है और r आवृत्ति अनुपात (ω/ωₙ) है।

नगण्य अवमंदन वाले सिस्टम के लिए (ζ ≈ 0), संचारण अनुपात सरल हो जाता है:

T = 1 / √[1 + r²]

दिया गया T = 0.1, हमारे पास है:

0.1 = 1 / √[1 + r²]

दोनों पक्षों का वर्ग:

(0.1)² = 1 / (1 + r²)

0.01 = 1 / (1 + r²)

1 + r² = 100

r² = 99

r = √99

r = ω/ωₙ प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है:

√99 = (15 x √10) / ωₙ

ωₙ = (15 x √10) / √99

ωₙ ≈ 4.77 rad/s

प्राकृतिक आवृत्ति के सूत्र का उपयोग करते हुए:

ωₙ = √(3k / 44)

4.77 = √(3k / 44)

दोनों पक्षों का वर्ग:

(4.77)² = 3k / 44

22.7529 = 3k / 44

3k = 22.7529 x 44

3k = 1001.1276

k = 1001.1276 / 3

k ≈ 333.71 N/m

N/mm में परिवर्तित करना:

k ≈ 333.71 / 1000 N/mm

k ≈ 0.334 N/mm