Question
Download Solution PDF12 सेमी भुजा वाले एक वर्ग में से x भुजा वाले चार छोटे वर्ग काटकर किनारों को मोड़कर एक ट्रे बनाई जाती है। x का मान क्या होगा ताकि ट्रे का आयतन अधिकतम हो?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- किसी फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,
- क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए f'(x) = 0 रखें।
- यदि f''(x) > 0 है, तो फ़ंक्शन न्यूनतम है और यदि f''(x) < 0 है, तो फ़ंक्शन अधिकतम है।
गणना:
वर्ग की दी गई भुजा = 12 सेमी
एक वर्ग में से x भुजा वाले चार छोटे वर्ग काटे गए हैं।
∴ आकृति इस प्रकार दिखती है:
ट्रे की विमाएं हैं:
ट्रे के आधार की भुजा की लंबाई = 12 - 2x सेमी
ट्रे की ऊँचाई x सेमी है।
∴ ट्रे का आयतन V = (12 - 2x)2 x सेमी3 है।
V = (4x2 - 48x + 144)x
V = 4x3 - 48x2 + 144x
\(\rm\frac{dV}{dx}=12x^2-96x+144\)
अधिकतम आयतन के लिए, \(\rm\frac{dV}{dx}=0\) रखें।
⇒ 12x2 - 96x + 144 = 0.
⇒ x2 - 8x + 12 = 0
⇒ (x - 2)(x - 6) = 0
⇒ x = 2 या x = 6
अब \(\rm\frac{d^2V}{dx^2}\) = 24x - 96
x = 2 \(\rm\frac{d^2V}{dx^2}\) - 48
⇒ x = 2 पर V(x) अधिकतम है।
आयतन अधिकतम तब होता है जब x की लंबाई 2 सेमी हो।
Last updated on Jul 8, 2025
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