Question
Download Solution PDFℤ/150ℤ से ℤ/90ℤ तक समूह समाकारिताओं की संख्या है:
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
यदि \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) और \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \) चक्रीय समूह हैं, तो \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) से \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या इस प्रकार दी जाती है:
\(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(n, m),\) जहाँ \( \gcd(n, m) \) n और m का महत्तम समापवर्तक है।
व्याख्या:
\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या दो समूहों के क्रमों के महत्तम समापवर्तक (gcd) द्वारा दी जाती है। अर्थात् \(\text{Number of homomorphisms} = \gcd(150, 90)\)
150 का अभाज्य गुणनखंडन: \(150 = 2 \times 3 \times 5^2\)
90 का अभाज्य गुणनखंडन: \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\)
अब, 150 और 90 का gcd उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल है:
\( \gcd(150, 90) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)
\(\mathbb{Z}/150\mathbb{Z}\) से \(\mathbb{Z}/90\mathbb{Z}\) तक समूह समाकारिताओं की संख्या 30 है।
इस प्रकार, विकल्प 1) सही है।
Last updated on Jun 23, 2025
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