एक कुंडली में जमा ऊर्जा दुगुनी करने के लिए कुंडली की धारा में कितने प्रतिशत वृद्धि की आवश्यकता होगी?

व्याख्या:

कुंडली में संग्रहीत ऊर्जा को दोगुना करने के लिए आवश्यक धारा में प्रतिशत वृद्धि निर्धारित करने के लिए, हमें कुंडली में संग्रहीत ऊर्जा और उसमें प्रवाहित धारा के बीच संबंध को समझने की आवश्यकता है।

एक प्रेरक (या कुंडली) में संग्रहीत ऊर्जा (E) सूत्र द्वारा दी जाती है:

E = (1/2) x L x I²

जहाँ:

• E प्रेरक में संग्रहीत ऊर्जा (जूल में) है।
• L कुंडली का प्रेरकत्व (हेनरी में) है।
• I कुंडली से प्रवाहित धारा (एम्पियर में) है।

मान लीजिए कि कुंडली में संग्रहीत प्रारंभिक ऊर्जा E₁ है और प्रारंभिक धारा I₁ है। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

E₁ = (1/2) x L x I₁²

हमें कुंडली में संग्रहीत ऊर्जा को दोगुना करने के लिए आवश्यक नई धारा I₂ ज्ञात करने की आवश्यकता है। इसलिए, नई ऊर्जा E₂ होगी:

E₂ = 2 x E₁

प्रेरकत्व और धारा के संदर्भ में ऊर्जा के सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1/2) x L x I₂² = 2 x (1/2) x L x I₁²

इस समीकरण को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

L x I₂² = 2 x L x I₁²

दोनों पक्षों को L से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

I₂² = 2 x I₁²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें प्राप्त होता है:

I₂ = √2 x I₁

धारा में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

प्रतिशत वृद्धि = [(I₂ - I₁) / I₁] x 100%

I₂ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

प्रतिशत वृद्धि = [(√2 x I₁ - I₁) / I₁] x 100%

इसे सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

प्रतिशत वृद्धि = (√2 - 1) x 100%

हम जानते हैं कि √2 ≈ 1.414, इसलिए:

प्रतिशत वृद्धि = (1.414 - 1) x 100%

प्रतिशत वृद्धि = 0.414 x 100%

प्रतिशत वृद्धि = 41.4%

इसलिए, कुंडली में आवश्यक धारा में प्रतिशत वृद्धि ताकि कुंडली में संग्रहीत ऊर्जा दोगुनी हो जाए, 41.4% है। इसलिए, सही विकल्प विकल्प 3 है।

अन्य विकल्पों का विश्लेषण:

यह और समझने के लिए कि अन्य विकल्प गलत क्यों हैं, आइए उनका मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: 1%

यह विकल्प गलत है क्योंकि ऊपर की गणना से पता चलता है कि धारा में प्रतिशत वृद्धि 1% से काफी अधिक है। आवश्यक वास्तविक प्रतिशत वृद्धि 41.4% है, जो बहुत अधिक है।

विकल्प 2: 0.5%

विकल्प 1 के समान कारणों से यह विकल्प भी गलत है। आवश्यक धारा में प्रतिशत वृद्धि 41.4% है, 0.5% नहीं। यह मान कुंडली में संग्रहीत ऊर्जा को दोगुना करने के लिए बहुत कम है।

विकल्प 3: 0.414

यह विकल्प सही उत्तर के करीब है लेकिन यह एक गलत व्याख्या प्रतीत होती है। जबकि 0.414 गणना का हिस्सा है (√2 - 1 ≈ 0.414), सही उत्तर को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए, जो 41.4% है।

विकल्प 4: 0.25

यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कुंडली में संग्रहीत ऊर्जा को दोगुना करने के लिए आवश्यक धारा में प्रतिशत वृद्धि की सही गणना को नहीं दर्शाता है। वास्तविक वृद्धि 41.4% होनी चाहिए, 0.25 नहीं।

निष्कर्ष:

एक प्रेरक में संग्रहीत ऊर्जा और उसमें प्रवाहित धारा के बीच संबंध को समझना इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। ऊर्जा धारा के वर्ग के समानुपाती है, और ऊर्जा को दोगुना करने के लिए धारा को √2 के गुणक से बढ़ाया जाना चाहिए। इससे धारा में 41.4% की वृद्धि होती है, जिससे विकल्प 3 सही उत्तर बन जाता है।