\(\left[ \frac{x^2+4}{y^2+4} \frac{dy}{dx} \left( x^2+4 \frac{d^2y}{dx^2} - 16y \right) \right] \) किसके बराबर है?

गणना:

दिया गया,

\(x = \sec\theta - \cos\theta\)

\(y = \sec^4\theta - \cos^4\theta\)

हम पहले से जानते हैं:

\(\displaystyle \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} = \frac{16\,(y^{2}+4)}{\,x^{2}+4\,} \)

दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलन करते हैं:

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl[(x^{2}+4)\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}\Bigr] = \frac{d}{dx}\bigl[16\,(y^{2}+4)\bigr] \)

इससे अवकलन संबंध प्राप्त होता है:

\(\displaystyle (x^{2}+4)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;+\;x\,\frac{dy}{dx} \;-\;16\,y \;=\;0\)

आवश्यक अभिव्यक्ति है

\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx} \Bigl[(x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y\Bigr] \)

अवकलन संबंध से,

\(\displaystyle (x^{2}+4)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-16y = -\,x\,\frac{dy}{dx} \)

तो व्यंजक बन जाता है

\(\displaystyle \frac{x^{2}+4}{y^{2}+4}\,\frac{dy}{dx}\, \bigl(-x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr) = -\,x\,\frac{x^{2}+4}{y^{2}+4} \Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} \)

\(\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2} = \tfrac{16\,(y^{2}+4)}{x^{2}+4}\), -16x को छोड़कर सभी कारक रद्द हो जाते हैं।

∴ दिए गए व्यंजक का मान \(-16x\) है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 3 है।