Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 2, 2025
Latest Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods MCQ Objective Questions
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 1:
একটি রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏 বিবেচনা করুন, যেখানে 𝑀 =
ধরা যাক 𝑀 = 𝐿𝑈, যেখানে 𝐿 এবং U হলো যথাক্রমে নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স। নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি বিবেচনা করুন:
𝑃: যদি 𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1 হয়, তাহলে 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑈) = 3।
𝑄: প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।
তাহলে
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (aij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |aii| ≥
ব্যাখ্যা:
P এর জন্য,
M =
ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স
𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1
ধরা যাক L =
তাহলে
⇒
উভয় দিক তুলনা করে
b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3
ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2
আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই
(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1
সুতরাং U =
সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3
P সত্য
Q এর জন্য,
M =
M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3
তাহলে Hজ্যাকোবি = D-1(L + U) যেখানে
D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ,
সুতরাং, D-1 =
সুতরাং Hজ্যাকোবি =
অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়
λ2 - 0λ - 2/3 = 0
⇒ λ =
যেহেতু |λ|
সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।
Q সত্য
𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য
(1) সঠিক
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 2:
সমীকরণগুলির সমাধান করুন
x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 2 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40
প্রদত্ত সমীকরণগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে
AX = b যেখানে
A =
[A: b] =
সুতরাং আমরা পাই
x + y + z = 9....(i)
-5y + 2z = -5....(ii)
12z = 60....(iii)
(iii) থেকে
z = 5
(ii)-তে z = 5 বসিয়ে পাই
-5y + 10 = - 5
⇒ -5y = -15 ⇒ y = 3
(i)-তে y এবং z-এর মান বসিয়ে পাই
x + 3 + 5 = 9 ⇒ x + 8 = 9 ⇒ x = 1
সুতরাং x = 1, y = 3, z = 5
(4) সঠিক
Top Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods MCQ Objective Questions
একটি রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏 বিবেচনা করুন, যেখানে 𝑀 =
ধরা যাক 𝑀 = 𝐿𝑈, যেখানে 𝐿 এবং U হলো যথাক্রমে নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স। নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি বিবেচনা করুন:
𝑃: যদি 𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1 হয়, তাহলে 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑈) = 3।
𝑄: প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।
তাহলে
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 3 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (aij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |aii| ≥
ব্যাখ্যা:
P এর জন্য,
M =
ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স
𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1
ধরা যাক L =
তাহলে
⇒
উভয় দিক তুলনা করে
b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3
ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2
আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই
(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1
সুতরাং U =
সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3
P সত্য
Q এর জন্য,
M =
M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3
তাহলে Hজ্যাকোবি = D-1(L + U) যেখানে
D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ,
সুতরাং, D-1 =
সুতরাং Hজ্যাকোবি =
অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়
λ2 - 0λ - 2/3 = 0
⇒ λ =
যেহেতু |λ|
সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।
Q সত্য
𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য
(1) সঠিক
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 4:
একটি রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏 বিবেচনা করুন, যেখানে 𝑀 =
ধরা যাক 𝑀 = 𝐿𝑈, যেখানে 𝐿 এবং U হলো যথাক্রমে নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স। নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি বিবেচনা করুন:
𝑃: যদি 𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1 হয়, তাহলে 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑈) = 3।
𝑄: প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।
তাহলে
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 4 Detailed Solution
ধারণা:
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (aij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |aii| ≥
ব্যাখ্যা:
P এর জন্য,
M =
ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স
𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1
ধরা যাক L =
তাহলে
⇒
উভয় দিক তুলনা করে
b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3
ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2
আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই
(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1
সুতরাং U =
সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3
P সত্য
Q এর জন্য,
M =
M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3
তাহলে Hজ্যাকোবি = D-1(L + U) যেখানে
D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ,
সুতরাং, D-1 =
সুতরাং Hজ্যাকোবি =
অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়
λ2 - 0λ - 2/3 = 0
⇒ λ =
যেহেতু |λ|
সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।
Q সত্য
𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য
(1) সঠিক
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 5:
সমীকরণগুলির সমাধান করুন
x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods Question 5 Detailed Solution
ব্যাখ্যা:
x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40
প্রদত্ত সমীকরণগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে
AX = b যেখানে
A =
[A: b] =
সুতরাং আমরা পাই
x + y + z = 9....(i)
-5y + 2z = -5....(ii)
12z = 60....(iii)
(iii) থেকে
z = 5
(ii)-তে z = 5 বসিয়ে পাই
-5y + 10 = - 5
⇒ -5y = -15 ⇒ y = 3
(i)-তে y এবং z-এর মান বসিয়ে পাই
x + 3 + 5 = 9 ⇒ x + 8 = 9 ⇒ x = 1
সুতরাং x = 1, y = 3, z = 5
(4) সঠিক