Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Gauss Elimination, Gauss Seidel Methods - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (a_ij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |a_ii| ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) সকল i এর জন্য

ব্যাখ্যা:

P এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স

𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1

ধরা যাক L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) এবং U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

তাহলে

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

উভয় দিক তুলনা করে

b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3

ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2

আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই

(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1

সুতরাং U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3

P সত্য

Q এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3 \(\ngeq\) |-4|

তাহলে H_{জ্যাকোবি} = D^-1(L + U) যেখানে

D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) এবং L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

সুতরাং, D^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

সুতরাং H_{জ্যাকোবি} = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়

λ² - 0λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

যেহেতু |λ| < 1

সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।

Q সত্য

𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য

(1) সঠিক

ব্যাখ্যা:

x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40

প্রদত্ত সমীকরণগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে

AX = b যেখানে

A = \(\begin{bmatrix}1&1&1\\2&-3&4\\3&4&5\end{bmatrix}\), X = \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\), b = \(\begin{bmatrix}9\\13\\40\end{bmatrix}\)

[A: b] = \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\2&-3&4&13\\3&4&5&40\end{bmatrix}\) \(\xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-3R_1}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&1&2&13\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{5R_3}\)\(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&5&10&65\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{R_3+R_2}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&0&12&60\end{bmatrix}\)

সুতরাং আমরা পাই

x + y + z = 9....(i)

-5y + 2z = -5....(ii)

12z = 60....(iii)

(iii) থেকে

z = 5

(ii)-তে z = 5 বসিয়ে পাই

-5y + 10 = - 5

⇒ -5y = -15 ⇒ y = 3

(i)-তে y এবং z-এর মান বসিয়ে পাই

x + 3 + 5 = 9 ⇒ x + 8 = 9 ⇒ x = 1

সুতরাং x = 1, y = 3, z = 5

(4) সঠিক

ধারণা:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (a_ij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |a_ii| ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) সকল i এর জন্য

ব্যাখ্যা:

P এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স

𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1

ধরা যাক L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) এবং U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

তাহলে

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

উভয় দিক তুলনা করে

b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3

ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2

আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই

(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1

সুতরাং U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3

P সত্য

Q এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3 \(\ngeq\) |-4|

তাহলে H_{জ্যাকোবি} = D^-1(L + U) যেখানে

D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) এবং L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

সুতরাং, D^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

সুতরাং H_{জ্যাকোবি} = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়

λ² - 0λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

যেহেতু |λ| < 1

সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।

Q সত্য

𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য

(1) সঠিক

ধারণা:

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (a_ij) কে একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় যদি |a_ii| ≥ \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) সকল i এর জন্য

ব্যাখ্যা:

P এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

ধরা যাক M = LU, যেখানে 𝐿 এবং U হলো নিম্ন ত্রিভুজাকার এবং উচ্চ ত্রিভুজাকার বর্গ ম্যাট্রিক্স

𝐿-এর প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1

ধরা যাক L = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\) এবং U = \(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

তাহলে

\(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}1&0\\a&1\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}b&c\\0&d\end{bmatrix}\)

⇒ \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}b&c\\ab&ac+d\end{bmatrix}\)

উভয় দিক তুলনা করে

b = 2, c = -1, ab = -4 এবং ac + d = 3

ab = -4 এ b = 2 বসিয়ে আমরা পাই a = -2

আবার ac + d = 3 এ a = -2 এবং c = -1 বসিয়ে আমরা পাই

(-2)(-1) + d = 3 ⇒ 2 + d = 3 ⇒ d = 1

সুতরাং U = \(\begin{bmatrix}2&-1\\0&1\end{bmatrix}\)

সুতরাং trace(U) = 1 + 2 = 3

P সত্য

Q এর জন্য,

M = \(\begin{bmatrix}2&-1\\\ -4&3\end{bmatrix}\)

M একটি কর্ণ প্রবল ম্যাট্রিক্স নয় কারণ 3 \(\ngeq\) |-4|

তাহলে H_{জ্যাকোবি} = D^-1(L + U) যেখানে

D হলো কর্ণ ম্যাট্রিক্স অর্থাৎ, \(\begin{bmatrix}2&0\\\ 0&3\end{bmatrix}\) এবং L + U = \(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\)

সুতরাং, D^-1 = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)

সুতরাং H_{জ্যাকোবি} = \(\begin{bmatrix}\frac12&0\\\ 0&\frac13\end{bmatrix}\)\(\begin{bmatrix}0&-1\\\ -4&0\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix}0&-\frac12\\\ -\frac43&0\end{bmatrix}\)

অতএব আইগেনমানগুলি দেওয়া হয়

λ² - 0λ - 2/3 = 0

⇒ λ = \(\pm\sqrt{\frac23}\)

যেহেতু |λ| < 1

সুতরাং প্রাথমিক ভেক্টর 𝑥(0) এর যেকোনো পছন্দের জন্য, জ্যাকোবি পুনরাবৃত্তি 𝑥(𝑘) , 𝑘 = 1,2,3 … রৈখিক সিস্টেম 𝑀𝑥 = 𝑏-এর অনন্য সমাধানের দিকে একত্রিত হয়।

Q সত্য

𝑃 এবং 𝑄 উভয়ই সত্য

(1) সঠিক

ব্যাখ্যা:

x + y + z = 9
2x - 3y + 4z = 13
3x + 4y + 5z = 40

প্রদত্ত সমীকরণগুলি এভাবে লেখা যেতে পারে

AX = b যেখানে

A = \(\begin{bmatrix}1&1&1\\2&-3&4\\3&4&5\end{bmatrix}\), X = \(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\), b = \(\begin{bmatrix}9\\13\\40\end{bmatrix}\)

[A: b] = \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\2&-3&4&13\\3&4&5&40\end{bmatrix}\) \(\xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-3R_1}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&1&2&13\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{5R_3}\)\(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&5&10&65\end{bmatrix}\)

\(\xrightarrow{R_3+R_2}\) \(\begin{bmatrix}1&1&1&9\\0&-5&2&-5\\0&0&12&60\end{bmatrix}\)

সুতরাং আমরা পাই

x + y + z = 9....(i)

-5y + 2z = -5....(ii)

12z = 60....(iii)

(iii) থেকে

z = 5

(ii)-তে z = 5 বসিয়ে পাই

-5y + 10 = - 5

⇒ -5y = -15 ⇒ y = 3

(i)-তে y এবং z-এর মান বসিয়ে পাই

x + 3 + 5 = 9 ⇒ x + 8 = 9 ⇒ x = 1

সুতরাং x = 1, y = 3, z = 5

(4) সঠিক