Monotonic Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Monotonic Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Monotonic Functions MCQ Objective Questions
Monotonic Functions Question 1:
f : ℝ → ℝ को ऐसा लिपशिट्ज़ फलन मानें कि f(x) = 0 यदि और केवल यदि x = ± n2 जहां n ∈ N. प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें: y' (t) = f(y(t)), y(0) = y0. तब इनमें से कौन - से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 1 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1, 2 और 4 हैं।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Monotonic Functions Question 2:
f = ex ? द्वारा दिए गए फलन की एकदिष्टता के बारे में जाँच कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 2 Detailed Solution
f = ex यह एकदिष्ट रूप से वर्धमान है।
Monotonic Functions Question 3:
मानें कि f ∶ [0, 1] → ℝ एकदिष्ट फलन है जबकि
यदि sup{x ∈ [0, 1] ∶ f(x) α.
तो निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये f ∶ [0,1] → ℝ
sup {x ∈ [0, 1], f(x)
और
⇒ विकल्प (1), (2) गलत हैं।
माना A = {x ∈ [0, 1] ∶ f(x) } तब
sup A = α और
स्थिति-(i):
चूँकि f एकदिष्ट है
⇒ f एकदिष्टतः ह्रासमान है।
चूँकि
sup
∴ f ह्रासमान नहीं हो सकता।
स्थिति-(ii):
⇒ f एकदिष्टतः वर्धमान और सतत है।
sup A = α
हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि f(α) = 0
मान लीजिये कि विपरीत f(α) ≠ 0
या तो f(α) > 0 या f(α)
यदि f(α) > 0 ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x) > 0
⇒ α - δ A के लिए एक उच्च सीमा है
यदि f(α) ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x)
∀x ∈(α - δ, α + δ)
(∵ चिन्ह प्रतिधारण गुणधर्म द्वारा)
⇒ α + δ ∈ A
⇒ α A की उच्च सीमा नहीं हो सकती। जो फिर से एक विरोधाभास है।
∴ हमारे पास f(α) = 0 होना चाहिए
(4) दिया गया है कि f ह्रासमान है और
और f(x)
(∵ f ह्रासमान है)
A = {x ∈ [0, 1] | f(x)
स्पष्ट रूप से
∴ (1) से f(α)
∴ सही विकल्प (3), (4) हैं।
Top Monotonic Functions MCQ Objective Questions
Monotonic Functions Question 4:
f = ex ? द्वारा दिए गए फलन की एकदिष्टता के बारे में जाँच कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 4 Detailed Solution
f = ex यह एकदिष्ट रूप से वर्धमान है।
Monotonic Functions Question 5:
f : ℝ → ℝ को ऐसा लिपशिट्ज़ फलन मानें कि f(x) = 0 यदि और केवल यदि x = ± n2 जहां n ∈ N. प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें: y' (t) = f(y(t)), y(0) = y0. तब इनमें से कौन - से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 5 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1, 2 और 4 हैं।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Monotonic Functions Question 6:
मानें कि f ∶ [0, 1] → ℝ एकदिष्ट फलन है जबकि
यदि sup{x ∈ [0, 1] ∶ f(x) α.
तो निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये f ∶ [0,1] → ℝ
sup {x ∈ [0, 1], f(x)
और
⇒ विकल्प (1), (2) गलत हैं।
माना A = {x ∈ [0, 1] ∶ f(x) } तब
sup A = α और
स्थिति-(i):
चूँकि f एकदिष्ट है
⇒ f एकदिष्टतः ह्रासमान है।
चूँकि
sup
∴ f ह्रासमान नहीं हो सकता।
स्थिति-(ii):
⇒ f एकदिष्टतः वर्धमान और सतत है।
sup A = α
हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि f(α) = 0
मान लीजिये कि विपरीत f(α) ≠ 0
या तो f(α) > 0 या f(α)
यदि f(α) > 0 ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x) > 0
⇒ α - δ A के लिए एक उच्च सीमा है
यदि f(α) ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x)
∀x ∈(α - δ, α + δ)
(∵ चिन्ह प्रतिधारण गुणधर्म द्वारा)
⇒ α + δ ∈ A
⇒ α A की उच्च सीमा नहीं हो सकती। जो फिर से एक विरोधाभास है।
∴ हमारे पास f(α) = 0 होना चाहिए
(4) दिया गया है कि f ह्रासमान है और
और f(x)
(∵ f ह्रासमान है)
A = {x ∈ [0, 1] | f(x)
स्पष्ट रूप से
∴ (1) से f(α)
∴ सही विकल्प (3), (4) हैं।