Monotonic Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Monotonic Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Monotonic Functions MCQ Objective Questions
Monotonic Functions Question 1:
f : ℝ → ℝ को ऐसा लिपशिट्ज़ फलन मानें कि f(x) = 0 यदि और केवल यदि x = ± n2 जहां n ∈ N. प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें: y' (t) = f(y(t)), y(0) = y0. तब इनमें से कौन - से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 1 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1, 2 और 4 हैं।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Monotonic Functions Question 2:
f = ex ? द्वारा दिए गए फलन की एकदिष्टता के बारे में जाँच कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 2 Detailed Solution
f = ex यह एकदिष्ट रूप से वर्धमान है।
Monotonic Functions Question 3:
मानें कि f ∶ [0, 1] → ℝ एकदिष्ट फलन है जबकि \(f\left( \frac{1}{4}\right)f\left( \frac{3}{4}\right)<0.\)
यदि sup{x ∈ [0, 1] ∶ f(x) < 0} = α.
तो निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये f ∶ [0,1] → ℝ
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x-1; x<\frac{1}{2} \\ 1;x=\frac{1}{2} \\ 2+x; x>\frac{1}{2} \end{array}\right.\)
sup {x ∈ [0, 1], f(x) < 0} = \(\frac{1}{2}\)
और \(f\left(\frac{1}{2}\right)=1>0\)
⇒ विकल्प (1), (2) गलत हैं।
\(f\left(\frac{1}{4}\right) f\left(\frac{3}{4}\right)<0\) और f सतत है।
माना A = {x ∈ [0, 1] ∶ f(x) < 0} तब
sup A = α और \(\frac{1}{4}<α<\frac{3}{4}\)
स्थिति-(i): \(f\left(\frac{1}{4}\right)>0, f\left(\frac{3}{4}\right)<0\)
चूँकि f एकदिष्ट है
⇒ f एकदिष्टतः ह्रासमान है।
चूँकि \(f\left(\frac{3}{4}\right)<0 \Rightarrow f(x)<0 ∀ x>\frac{3}{4}\)
sup \(A=α>\frac{3}{4}\) लेकिन \(\frac{1}{4}<α<\frac{3}{4}\) अतः एक विरोधाभास।
∴ f ह्रासमान नहीं हो सकता।
स्थिति-(ii): \(f\left(\frac{1}{4}\right)<0, f\left(\frac{3}{4}\right)>0\)
⇒ f एकदिष्टतः वर्धमान और सतत है।
\(∃∈\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)\) इस प्रकार कि f(t) = 0
sup A = α
हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि f(α) = 0
मान लीजिये कि विपरीत f(α) ≠ 0
या तो f(α) > 0 या f(α) < 0
यदि f(α) > 0 ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x) > 0
⇒ α - δ A के लिए एक उच्च सीमा है
यदि f(α) < 0 ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x) < 0
∀x ∈(α - δ, α + δ)
(∵ चिन्ह प्रतिधारण गुणधर्म द्वारा)
⇒ α + δ ∈ A
⇒ α A की उच्च सीमा नहीं हो सकती। जो फिर से एक विरोधाभास है।
∴ हमारे पास f(α) = 0 होना चाहिए
(4) दिया गया है कि f ह्रासमान है और
\(f\left(\frac{1}{4}\right) f\left(\frac{3}{4}\right)<0\)
\(\Rightarrow \quad f\left(\frac{1}{4}\right)>0 \text { & } f\left(\frac{3}{4}\right)<0\)
और f(x) < 0 ∀ x > \(\frac{3}{4}\) ...(1)
(∵ f ह्रासमान है)
A = {x ∈ [0, 1] | f(x) < 0}
स्पष्ट रूप से \(\frac{3}{4} ∈ A\) sup \(A=α>\frac{3}{4} \)
∴ (1) से f(α) < 0
∴ सही विकल्प (3), (4) हैं।
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Monotonic Functions Question 4:
f = ex ? द्वारा दिए गए फलन की एकदिष्टता के बारे में जाँच कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 4 Detailed Solution
f = ex यह एकदिष्ट रूप से वर्धमान है।
Monotonic Functions Question 5:
f : ℝ → ℝ को ऐसा लिपशिट्ज़ फलन मानें कि f(x) = 0 यदि और केवल यदि x = ± n2 जहां n ∈ N. प्रारंभिक मान समस्या पर विचार करें: y' (t) = f(y(t)), y(0) = y0. तब इनमें से कौन - से सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 5 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1, 2 और 4 हैं।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Monotonic Functions Question 6:
मानें कि f ∶ [0, 1] → ℝ एकदिष्ट फलन है जबकि \(f\left( \frac{1}{4}\right)f\left( \frac{3}{4}\right)<0.\)
यदि sup{x ∈ [0, 1] ∶ f(x) < 0} = α.
तो निम्न में से कौन से कथन सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Monotonic Functions Question 6 Detailed Solution
व्याख्या:
मान लीजिये f ∶ [0,1] → ℝ
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x-1; x<\frac{1}{2} \\ 1;x=\frac{1}{2} \\ 2+x; x>\frac{1}{2} \end{array}\right.\)
sup {x ∈ [0, 1], f(x) < 0} = \(\frac{1}{2}\)
और \(f\left(\frac{1}{2}\right)=1>0\)
⇒ विकल्प (1), (2) गलत हैं।
\(f\left(\frac{1}{4}\right) f\left(\frac{3}{4}\right)<0\) और f सतत है।
माना A = {x ∈ [0, 1] ∶ f(x) < 0} तब
sup A = α और \(\frac{1}{4}<α<\frac{3}{4}\)
स्थिति-(i): \(f\left(\frac{1}{4}\right)>0, f\left(\frac{3}{4}\right)<0\)
चूँकि f एकदिष्ट है
⇒ f एकदिष्टतः ह्रासमान है।
चूँकि \(f\left(\frac{3}{4}\right)<0 \Rightarrow f(x)<0 ∀ x>\frac{3}{4}\)
sup \(A=α>\frac{3}{4}\) लेकिन \(\frac{1}{4}<α<\frac{3}{4}\) अतः एक विरोधाभास।
∴ f ह्रासमान नहीं हो सकता।
स्थिति-(ii): \(f\left(\frac{1}{4}\right)<0, f\left(\frac{3}{4}\right)>0\)
⇒ f एकदिष्टतः वर्धमान और सतत है।
\(∃∈\left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right)\) इस प्रकार कि f(t) = 0
sup A = α
हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि f(α) = 0
मान लीजिये कि विपरीत f(α) ≠ 0
या तो f(α) > 0 या f(α) < 0
यदि f(α) > 0 ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x) > 0
⇒ α - δ A के लिए एक उच्च सीमा है
यदि f(α) < 0 ⇒ ∃δ > 0 इस प्रकार कि f(x) < 0
∀x ∈(α - δ, α + δ)
(∵ चिन्ह प्रतिधारण गुणधर्म द्वारा)
⇒ α + δ ∈ A
⇒ α A की उच्च सीमा नहीं हो सकती। जो फिर से एक विरोधाभास है।
∴ हमारे पास f(α) = 0 होना चाहिए
(4) दिया गया है कि f ह्रासमान है और
\(f\left(\frac{1}{4}\right) f\left(\frac{3}{4}\right)<0\)
\(\Rightarrow \quad f\left(\frac{1}{4}\right)>0 \text { & } f\left(\frac{3}{4}\right)<0\)
और f(x) < 0 ∀ x > \(\frac{3}{4}\) ...(1)
(∵ f ह्रासमान है)
A = {x ∈ [0, 1] | f(x) < 0}
स्पष्ट रूप से \(\frac{3}{4} ∈ A\) sup \(A=α>\frac{3}{4} \)
∴ (1) से f(α) < 0
∴ सही विकल्प (3), (4) हैं।