Sequences & Series (Convergence) MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sequences & Series (Convergence) - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:

f(x) = 3/((1-x)(1+2x)) = A/(1-x) + B/(1+2x)

A और B को हल करने पर हमें प्राप्त होता है:

A = 1, B = 2

इसलिए, f(x) = 1/(1-x) + 2/(1+2x)

अब, हम गुणोत्तर श्रेणी प्रसार का उपयोग कर सकते हैं:

1/(1-x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯

और 1/(1+2x) = 1 - 2x + 4x² - 8x³ + 16x⁴ + ⋯

दूसरी श्रेणी को 2 से गुणा करने पर:

2/(1+2x) = 2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯

अब, हम f(x) का प्रसार प्राप्त करने के लिए दोनों श्रेणियों को जोड़ सकते हैं:

f(x) = (1 + x + x² + x³ + x⁴ + ⋯ ) + (2 - 4x + 8x² - 16x³ + 32x⁴ + ⋯ )

x² का गुणांक ज्ञात करने के लिए:

पहली श्रृंखला से x2 + दूसरी श्रृंखला से x2 = +8 x 2

इसलिए, f(x) के प्रसार में x2 का गुणांक 9 है। 

अतः 9 सही उत्तर है।

व्याख्या:

यदि \(a_n = |\frac{f^n(0)}{n!}|^{\frac{1}{n}} \leq \frac{k^{\frac{1}{n}}}{(n!)^{1/n}} \)

अब \(k^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 \) और \((n!)^{1/n} \rightarrow \infty as n \rightarrow \infty \)

\( \frac{k^{\frac{1}{n}}}{(n!)^{1/n}} \rightarrow 0 \quad as \quad n \rightarrow \infty \)

इसलिए, (1) सत्य है और (2) असत्य है।

फलन पर विचार करते हैं:

\(f(x) = \begin{cases} x; & x \in (-\infty, 1) \\ x + 1; & x \in (1, \infty) \end{cases} \)

तब \(|f^n(0)| \leq 1 \forall n \in \mathbb{N} \) लेकिन x = 1 पर f'(x) का अस्तित्व नहीं है, इसलिए (3) असत्य है।

\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^n(0)}{(n-1)!}\) पर विचार करते हैं।

अब \( |\frac{f^n(0)}{(n-1)!}| \leq |\frac{k}{(n-1)!}| \)

लेकिन \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{k}{(n-1)!} \) अभिसारी है, इसलिए तुलना परीक्षण द्वारा \(\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{f^n(0)}{(n-1)!}| \) अभिसारी है।

इसलिए, \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^n(0)}{(n-1)!} \) निरपेक्षतः अभिसारी है \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^n(0)x^n}{n!} \) प्रत्येक \(x \in (-1, 1) \) के लिए f(x) में अभिसरित होता है।

\(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^n(0)x^n}{n!} \)

f(0) = 0

इसके अलावा, f(x) = 0, \(\forall n \in \mathbb{N} \)

इसलिए विकल्प (1) और विकल्प (4) सही हैं।

व्याख्या:

माना L अनुक्रम की सीमा है। तब,

\(lim_{n→∞} {x_{n+1}} = lim_{n→∞} [π + √(x_n − π)] \)

चूँकि अनुक्रम अभिसारी है, इसलिए \(x_{n+1} \) की सीमा भी L है

इसलिए, L = π + √(L − π)

L - π = √(L - π)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

L² - 2πL + π² = L - π

L² - 2πL + π²-L + π = 0

द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(L - π)(L - π -1 ) = 0

यह हमें L के लिए दो संभावित मान देता है:

L = π या L = π+1

हालांकि, हम जानते हैं कि \(x_1 > π + √2 \)

⇒ अनुक्रम के सभी पद π + √2 से अधिक हैं

इसलिए, सीमा L, π नहीं हो सकती।

इसलिए, केवल संभव सीमा L = π+ 1 है

इसलिए, L = π + 1

इसलिए, [-π⋅ L ] = [-π⋅( π + 1)] = [-13.11 ] = -14

इसलिए विकल्प (2) सही उत्तर है।

व्याख्या:

दिया गया है कि {xₙ} वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम है

और, P = {n ∈ ℕ : xₙ > xₘ सभी m ∈ ℕ के लिए जहाँ m > n}

मान लीजिये, {xₙ} = -n तब,

{xₙ} एक ह्रासमान अनुक्रम है जो P से संबंधित है जिसके सभी पद P की शर्त को संतुष्ट करते हैं।

चूँकि P = ℕ (अपरिमित)

क्योंकि, {xₙ} ह्रासमान है।

⇒ इसका एक एकदिष्टतः ह्रासमान उपानुक्रम है।

⇒ विकल्प (3) सही है और विकल्प (4) गलत है।

अब, मान लीजिये {yₙ} = n तब {yₙ} एक वर्धमान अनुक्रम है।

लेकिन P में अनुक्रम ह्रासमान अनुक्रम है।

इसलिए, {yₙ} का कोई भी पद P में दी गई शर्त को संतुष्ट नहीं करता है।

P = ∅ (परिमित)

क्योंकि, {yₙ} वर्धमान अनुक्रम है।

⇒ इसके अनंत वर्धमान उपानुक्रम हैं।

⇒ विकल्प (1) सही है और विकल्प (2) गलत है।

इसलिए केवल विकल्प (1) और विकल्प (3) सही हैं।

संप्रत्यय:

मान लीजिए {a_n}, {bn}, {cn} दो वास्तविक मान वाले अनुक्रम हैं जो an ≤ bn ≤ cn को संतुष्ट करते हैं, तो यदि \(\lim_{n\to\infty}a_n\) = \(\lim_{n\to\infty}c_n\) = l है, तो \(\lim_{n\to\infty}b_n\) = l है। 

व्याख्या:

a_n = \(\rm\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n^2}}\)

= \(\sum_{r=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+r^2}}\)

= \(\sum_{r=1}^n\frac1n.\frac{1}{\sqrt{1+(\frac rn)^2}}\)

= \(\int_0^1{dx\over \sqrt{1+x^2}}\)

= \([\sin^{-1}x]_0^1\) = π/2

इसलिए,{an} π/2 की ओर अभिसरित होता है।

b_n = \(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n}\)

\({1\over n^2+n}≤ {1\over n^2+k}≤ {1\over n^2+1}\), k = 1, 2, 3, ...

⇒ \({1+2+...+n\over n^2+n}≤ b_n≤ {1+2+...+n\over n^2+1}\)

\(\lim_{n\to\infty}{1+2+...+n\over n^2+n}\) = \(\lim_{n\to\infty}{n(n+1)\over 2(n^2+n)}\) = 1/2

\(\lim_{n\to\infty}{1+2+...+n\over n^2+1}\) = \(\lim_{n\to\infty}{n(n+1)\over 2(n^2+1)}\) = 1/2

तो \(\lim_{n\to\infty}b_n\) = 1/2

विकल्प (1), (2), (3) सही हैं

अवधारणा:

लाइबनीज परीक्षण: \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)(-1)ⁿbn, जहाँ या तो सभी bn धनात्मक हैं या सभी bn ऋणात्मक हैं, अभिसारी होती है यदि

(i) |bn| एकसमान रूप से घटता है अर्थात, |bn+1| ≤ |bn|

(ii) \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\)

व्याख्या:

an = (−1)n+1\(\rm (\sqrt{n+1}−\sqrt{n})\)

= (−1)n+1 \(\rm \frac{(\sqrt{n+1}−\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

= (−1)n+1\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए यहाँ b_n = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\), bn+1 = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}\)

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}<1\) इसलिए bn+1 < bn

इसके अलावा \(\lim_{n\to\infty}b_n\) = \(\lim_{n\to\infty}\) \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = 0

इसलिए लाइबनीज परीक्षण द्वारा \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) an अभिसारी है।

अब श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm |\frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}|\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\rm \frac{1}{\sqrt n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}\)

इसलिए सीमा तुलना परीक्षण द्वारा, यह P - परीक्षण द्वारा अपसारी श्रेणी है।

इसलिए दी गई श्रेणी सशर्त अभिसारी है।

विकल्प (3) सही है।

आधिकारिक उत्तर कुंजी में - विकल्प (2) और (3) दोनों सही हैं।

स्पष्टीकरण:

सुझाव: < a _n > के लिए उपयुक्त विकल्प लेकर विकल्पों को त्यागने का प्रयास करें।

विकल्प (1). मान लें a _n = 1 तो \(\operatorname{\lim}_{n \rightarrow \infty}\) (-1) ⁿ . \(\frac{1}{2}\) ≠ 0

विकल्प (2). मान लीजिए a n = <1> और \(a_{n_k}\) = <1> तो

\(\sum_{k \geq 1}^{\infty} \frac{a_{n_k}}{1+\left|a_{n_k}\right|}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+1}=\sum \frac{1}{2}\)    अभिसारी नहीं.

विकल्प (3), विकल्प (4): (नोट: हो सकता है आपको अधिक प्रयास करना पड़े) फिर एक समुद्र,

मान लें a _n = (-1) ⁿ तो \(\sum\left|b-\frac{a_n}{1+| a_n \mid}\right|(-1)^n\)

\(=\sum\left|b-\frac{(-1)^n}{2}\right|(-1)^n\)

लेकिन यहाँ निश्चित 'b St ऊपर की श्रृंखला cgt बन जाती है। आप b = ½ या = -½ ले सकते हैं लेकिन दोनों नहीं, अन्यथा विशिष्टता खो जाएगी।

⇒ विकल्प (3) गलत है।

विकल्प (4): जैसा कि पहले चर्चा की गई है, b = ½ और \(a_{n_k}\) = <1> लें तो लगभग श्रृंखला अभिसारी हो जाती है। इसलिए विकल्प (4) सत्य है।

संप्रत्यय:

उच्चक(sup): किसी समुच्चय का उच्चक निम्नतम उपरि सीमा होती है। एक अनुक्रम \((a_n)\) के लिए,

\(\sup \{a_n | n \geq 1\}\) वह सबसे छोटी संख्या है जो अनुक्रम के सभी पदों से बड़ी या उसके बराबर है।

निम्नक(inf): निम्नक महत्तम निम्न परिबंध होती है। एक अनुक्रम \((a_n)\) के लिए, \(\inf \{a_n | n \geq 1\}\) वह

सबसे बड़ी संख्या है जो अनुक्रम के सभी पदों से छोटी या उसके बराबर है।

व्याख्या:

विकल्प 1:

अनुक्रम का निम्नक और उच्चक उसकी निम्न और उच्च सीमाओं को संदर्भित करता है। यदि ये दो सीमाएँ

समान हैं, तो इसका अर्थ है कि अनुक्रम एक ही बिंदु की ओर संकुचित हो रहा है।

यह एक सत्य कथन है, क्योंकि यदि निम्नतम और सर्वोच्च एक ही बिंदु पर अभिसरित होते हैं, तो अनुक्रम को उस बिंदु पर अभिसरित होना चाहिए।

विकल्प 2:

यदि अनुक्रम का निम्नक \(n \to \infty \) के रूप में अनुक्रम की सीमा के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि

अनुक्रम इस मान पर स्थिर हो जाता है, यह सुझाव देता है कि यह उस बिंदु पर अभिसरित हो रहा है।

यह एक सत्य कथन है, क्योंकि अनुक्रम अपने निम्नक पर अभिसरित हो रहा है, जिसका अर्थ है कि इसकी एक सीमा है।

विकल्प 3:

प्रति उदाहरण:

अनुक्रम \(a_n = \frac{1}{n}\) पर विचार करें।

1. चूँकि \(n \to \infty\) है, \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

2. अनुक्रम का उच्चक \(\sup\{a_n | n \geq 1\} = a_1 = 1\) है

यह अनुक्रम स्पष्ट रूप से अचर नहीं है क्योंकि an an के मान n n बढ़ने पर घटते हैं। हालाँकि, हमारे पास अभी भी है:

\(\sup\{a_n | n \geq 1\} = \lim_{n \to \infty} a_n = 0.\)

यह दर्शाता है कि \({a_n}\) अचर नहीं है।

विकल्प 4:

किसी अनुक्रम का उच्चक अनुक्रम में मानों की निम्नतम उपरि सीमा होती है।

यह सबसे छोटी संख्या है जो अनुक्रम में प्रत्येक पद से बड़ी या उसके बराबर होती है।

किसी अनुक्रम का निम्नक अनुक्रम में मानों की महत्तम निम्न परिबंध होती है।

यह सबसे बड़ी संख्या है जो अनुक्रम में प्रत्येक पद से छोटी या उसके बराबर होती है।

अब, यदि \(\sup\{a_n \mid n \geq 1\} = \inf\{a_n \mid n \geq 1\}\), इसका अर्थ है कि न्यूनतम उपरि सीमा और

महत्तम निम्न परिबंध समान हैं। आइए इस सामान्य मान को C कहते हैं।

चूँकि, उच्चक C अनुक्रम की एक उपरि सीमा है, इसलिए अनुक्रम के सभी पद C से कम या उसके बराबर होने चाहिए।
चूँकि, निम्नक C अनुक्रम की एक निम्नतम सीमा है, इसलिए अनुक्रम के सभी पद C से अधिक या उसके बराबर होने चाहिए।

इसलिए, सभी n के लिए, पद \(a_n\) को \(C \leq a_n \leq C\) को संतुष्ट करना चाहिए, जिसका अर्थ सभी n के लिए है कि \(a_n\) = C है।

इसलिए, आवश्यक विकल्प 3) है।

$$\boxed{\text{विकल्प 3}}.$$

संकल्पना:

(i) प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध है।

स्पष्टीकरण:

{xn}, ℝ में एक अभिसरण अनुक्रम है। अतः यह परिबद्ध है।

तब एक वास्तविक संख्या M इस प्रकार विद्यमान है कि |xn| ≤ M

{yn}, ℝ में एक परिबद्ध अनुक्रम है

तब एक वास्तविक संख्या L इस प्रकार विद्यमान है कि |yn| ≤ L

अब, |xn + yn| ≤ |xn| + |yn| ≤ M + L

इसलिए, {xn + yn} परिबद्ध है।

विकल्प (2) सत्य है।

माना {xn} = {\(\frac1n\)} और {yn} = {(-1)n} है, तब {xn}, ℝ में एक अभिसरण अनुक्रम है और {yn}, ℝ में एक परिबद्ध अनुक्रम है।

लेकिन {xn + yn} = {\(\frac1n\) + (-1)n} जो अभिसरण नहीं है और इसमें अभिसरण और परिबद्ध अनुवर्ती है।

विकल्प (1), (3) और (4) असत्य हैं

संप्रत्यय:

(1) यदि \(\lim _{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \) विद्यमान है (परिमित या अपरिमित रूप से), तब

\(\lim _{n\to\infty} (a_n )^\frac{1}{n}= \lim _{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)

(2) कोशी का सीमाओं पर पहला प्रमेय,

यदि \(\lim _{n\to\infty} a_n = a\) , तब \(\lim _{n\to\infty} \frac{a_1+a_2+a_3+.......+ a_n}{n}=a\)

व्याख्या:

मान लीजिये a_n = \(n^{\frac{1}{n}}\)

यदि \(\lim _{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \) विद्यमान है (परिमित या अपरिमित रूप से), तब

\(\lim _{n\to\infty} (a_n )^\frac{1}{n}= \lim _{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\)

∴ \(\lim _{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = \lim _{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1\)

अब कोशी के सीमाओं पर पहले प्रमेय का उपयोग करके,

इसलिए, \(\lim _{n\to\infty} \frac{1+\sqrt2+3^{\frac{1}{3}}+.......+ n^{\frac{1}{n}}}{n}= \lim _{n\to\infty}(n)^{\frac{1}{n}} =1\)

स्पष्टीकरण:

\(\sum a_nb_n\) अभिसारी है, इसलिए \(\lim_{n\to\infty}a_nb_n\) = 0

चूँकि प्रत्येक अभिसारी श्रेढ़ी परिबद्ध है। 

इसलिए {anbn} परिबद्ध है।

इसलिए {an}, {bn} में से कम से कम एक परिबद्ध है। 

विकल्प (1) सही है। 

an = n, bn= \(\frac{1}{n^3}\) इसलिए \(\sum a_nb_n=\frac{1}{n^2}\) अभिसारी है। 

लेकिन ∑ an अभिसारी नहीं है और {an} परिबद्ध नहीं है।

विकल्प (2), (4) असत्य हैं। 

माना an = bn= \(\frac1n\) 

तब \(\sum a_nb_n=\frac{1}{n^2}\) अभिसारी है लेकिन ∑ an, ∑ bn दोनों अभिसारी नहीं हैं। 

विकल्प (3) गलत है। 

अवधारणा -

(i) n³ + 1 = (n+1)(n² + 1 - n)

(ii) \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e\) और \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} = e -1\)

(iii) \(e^x = 1+ x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} +......\)

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त है: श्रेणी  \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{n^3+1}{(n+1)!}\)

= \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{(n+1)(n^2+1-n)}{(n+1) n!}\)

= \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{(n^2+1-n)}{n!}\) 

= \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{n^2-n}{n!} +\sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n!}\)

= \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} +\sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n!}\)

= \(\sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} +\sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n!}\)

= (e - 1) + e = 2e - 1

अत:, दी गई श्रेणी अभिसारी है और परिमित सीमा 2e - 1 की ओर अभिसरित है।

अत:, विकल्प (iii) सही है।

संकल्पना:

\(e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...\)

स्पष्टीकरण:

\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3 \times 1 !}+\frac{1}{4 \times 2 !}+\frac{1}{5 \times 3 !}+\cdots\)

   = \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)n!}\)

   = \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)}{(n+2)!}\)

   = \(\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{(n+2)}{(n+2)!}-\frac{1}{(n+2)!}\right]\)

   = \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+2)!}\)

   = \((1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...)-(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...)\)

  = e - 1 - (e - 1 - 1) (as \(e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...\))

   = e - 1 - e + 1 + 1 = 1

विकल्प (4) सत्य है

अवधारणा -

P - परिक्षण - 

\(\sum \frac{1}{n^p}\), p > 1 के लिए अभिसारी है

स्पष्टीकरण -

विकल्प (ii) के लिए -

यदि a_n = 1/n एक ऋणेतर वास्तविक संख्या का अनुक्रम है।

यदि P - परीक्षण से \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^5 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5} \) अभिसारी है।

लेकिन \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) अपसारी श्रेणी है 

अत:, विकल्प (ii) असत्य है।

विकल्प (i) के लिए -

यदि \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \) अभिसारी  है, तब किसी भी अभिसारी श्रेणी के लिए \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^5 \) भी अभिसारी होगा।

अत:, विकल्प (i) सत्य है।

विकल्प (iii) के लिए -

यदि \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{\frac{3}{2}} \) अभिसारी है, तब \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n \) या तो अभिसारी या साथ ही अपसारी भी है।

लेकिन दोनों ही स्थिति में, श्रेणी \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ a_n}{n}\) अभिसारी है।

अत:, विकल्प (iii) सत्य है।

अवधारणा -

(i) ∑ |a_n | अभिसारी है, तब ∑ an निरपेक्ष अभिसारी है।

(ii) अनुपात परीक्षण - 

यदि \(lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}= p < 1\) है, तब श्रेणी ∑ an अभिसारी है।

स्पष्टीकरण -

हमें प्राप्त श्रेणी \(∑{3^n sin(\frac{1}{5^n x})}\) है

अब, निरपेक्ष अभिसारी के लिए -

\(∑ |{3^n sin(\frac{1}{5^n x})}| \le ∑ \frac{1}{x} \times (\frac{3}{5})^n\)

अब अनुपात परीक्षण का प्रयोग करने पर -

\(lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}= lim_{n \to \infty } (\frac{3}{5})= \frac{3}{5}< 1\)

अतः, श्रेणी \(∑ \frac{1}{x} \times (\frac{3}{5})^n\) अभिसारी है और दी गई श्रेणी निरपेक्ष अभिसारी है।

अत:, विकल्प (i) सत्य है।