श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) an, पर विचार करें जहां an = (−1)n+1\(\rm (\sqrt{n+1}−\sqrt{n})\) है। निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा सत्य है?

अवधारणा:

लाइबनीज परीक्षण: \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)(-1)ⁿbn, जहाँ या तो सभी bn धनात्मक हैं या सभी bn ऋणात्मक हैं, अभिसारी होती है यदि

(i) |bn| एकसमान रूप से घटता है अर्थात, |bn+1| ≤ |bn|

(ii) \(\lim_{n\to\infty}b_n=0\)

व्याख्या:

an = (−1)n+1\(\rm (\sqrt{n+1}−\sqrt{n})\)

= (−1)n+1 \(\rm \frac{(\sqrt{n+1}−\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

= (−1)n+1\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

इसलिए यहाँ b_n = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\), bn+1 = \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}\)

\(\frac{b_{n+1}}{b_n}<1\) इसलिए bn+1 < bn

इसके अलावा \(\lim_{n\to\infty}b_n\) = \(\lim_{n\to\infty}\) \(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = 0

इसलिए लाइबनीज परीक्षण द्वारा \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) an अभिसारी है।

अब श्रेणी \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm |\frac{(-1)^{n+1}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}|\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\)\(\rm \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\) = \(\rm\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\) \(\rm \frac{1}{\sqrt n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1)}\)

इसलिए सीमा तुलना परीक्षण द्वारा, यह P - परीक्षण द्वारा अपसारी श्रेणी है।

इसलिए दी गई श्रेणी सशर्त अभिसारी है।

विकल्प (3) सही है।

आधिकारिक उत्तर कुंजी में - विकल्प (2) और (3) दोनों सही हैं।