मान लीजिए u = u(x, t) निम्न प्रारंभिक मान समस्या का हल है

\(\rm \left\{\begin{matrix}u_t+2024u_x=0,&x ∈ R, t>0\\\ u(x, 0)=u_0(x), &x ∈ R\end{matrix}\right.\)

जहाँ u₀ : ℝ → ℝ एक स्वेच्छ C¹ फलन है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:

S₁ : यदि A_t = {x ∈ ℝ : u(x, t) < 1} और |A_t| प्रत्येक t ≥ 0 के लिए A का लेबेग माप दर्शाता है, तो |A_t| = |A₀|, ∀t > 0

S₂ : यदि u₀ लेबेग समाकलनीय है, तो प्रत्येक t > 0 के लिए, फलन x → u(x, t) लेबेग समाकलनीय है।

अवधारणा:

फलनों का स्थानांतरण: हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t) \) फलन \(u_0(x) \) के स्थानांतरण को x-अक्ष के अनुदिश दर्शाता है जैसे-जैसे समय t आगे बढ़ता है। यह हल के गुणों का विश्लेषण करते समय महत्वपूर्ण है क्योंकि कई गुण, जैसे कि समाकलनीयता और समुच्चयों का लेबेग माप, स्थानांतरण के तहत संरक्षित रहते हैं।

लेबेग माप: समुच्चय \(A \subset \mathbb{R} \) का लेबेग माप \(|A|\) समुच्चय को "आकार" निर्दिष्ट करने का एक तरीका है।

यहाँ प्रासंगिक मुख्य गुण यह है कि किसी समुच्चय का लेबेग माप स्थानांतरण के तहत निश्चर है।

दूसरे शब्दों में, यदि किसी समुच्चय \(A \subset \mathbb{R} \) को किसी निश्चित मात्रा से स्थानांतरित किया जाता है, तो उसका माप समान रहता है।

व्याख्या:

\(\begin{cases} u_t + 2024 u_x = 0, & x \in \mathbb{R}, t > 0 \\ u(x, 0) = u_0(x), & x \in \mathbb{R} \end{cases}\)

जहाँ \(u_0 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) एक स्वेच्छ \( C^1\) (संतत अवकलनीय) फलन है। हल u(x, t) के बारे में दो कथन \( S_1 \) और \( S_2\) दिए गए हैं, और हमें यह निर्धारित करना है कि दोनों कथन सत्य हैं या असत्य।

यह एक प्रथम-कोटि रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है। इस प्रकार के समीकरण को हल करने की मानक विधि अभिलक्षणिक विधि का उपयोग करके है। आंशिक अवकल समीकरण \(u_t + 2024 u_x = 0 \) में निम्नलिखित अभिलक्षणिक समीकरण हैं

\(\frac{dx}{dt} = 2024 \quad \Rightarrow \quad x = 2024 t + x_0.\)

यह हमें बताता है कि हल रेखाओं \(x - 2024 t = \text{constant}\) के साथ स्थिर है, जिसका अर्थ है कि हल निम्न रूप लेता है:

\(u(x, t) = u_0(x - 2024 t).\)

इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण का हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t).\) है।

कथन \(S_1\):

यदि \(A_t = \{x \in \mathbb{R} : u(x, t) < 1\} \) और \(|A_t| \) \( A\) का लेबेग माप दर्शाता है, तो प्रत्येक \(t \geq 0 \) के लिए, \(|A_t| = |A_0| \) है। 

आंशिक अवकल समीकरण का हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t) \) है, जिसका अर्थ है कि u(x, t) प्रारंभिक प्रतिबंध का एक स्थानांतरण है।

स्थानांतरण किसी समुच्चय के लेबेग माप को नहीं बदलता है। इसलिए, यदि हम समुच्चय \(A_t \) को \(\{x \in \mathbb{R} : u(x, t) < 1\} \) के रूप में परिभाषित करते हैं,

माप \(|A_t| \) सभी \(t \geq 0\) के लिए समान रहेगा क्योंकि फलन \(u(x, t)\) केवल \(u_0(x)\) का एक स्थानांतरित संस्करण है।

इस प्रकार, कथन \(S_1 \) सत्य है।

कथन \(S_2 \):

यदि \(u_0 \) लेबेग समाकलनीय है, तो प्रत्येक \(t \geq 0 \) के लिए, फलन u(x, t) लेबेग समाकलनीय है।

हल \(u(x, t) = u_0(x - 2024 t)\) प्रारंभिक प्रतिबंध \(u_0(x)\) का एक स्थानांतरण है।

लेबेग समाकलनीय फलन का स्थानांतरण अभी भी लेबेग समाकलनीय है।

इसलिए, यदि \(u_0(x)\) समाकलनीय है, तो u(x, t) सभी \(t \geq 0 \) के लिए समाकलनीय होगा।

इस प्रकार, कथन \(S_2 \) भी सत्य है।

दोनों कथन \(S_1\) और \(S_2 \) सत्य हैं।

इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1) है।