Supremum & Infimum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Supremum & Infimum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

u_n = \(\left(1+(-1)^n \frac1n\right)^n\)

जब n सम है,

u_n = \(\left(1+ \frac1n\right)^n\)

इसलिए, \(\lim_{n\to\infty}u_n\) = \(\lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac1n\right)^n\) = e

और जब n विषम है,

un = \(\left(1- \frac1n\right)^n\)

इसलिए, \(\lim_{n\to\infty}u_n\) = \(\lim_{n\to\infty}\left(1- \frac1n\right)^n\) = 1/e

lim sup un = e, lim inf un = 1/e

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

समुच्चय का उच्चक \(\sup A \), \(x\) का निम्नतम उपरि परिबंध है। निम्नक \(\inf A \), \(x\) का महत्तम निम्नतम परिबंध है।

हमें \( \mathbb{R} \) के उपसमुच्चय के रूप में \( A = \{ x \in \mathbb{Q} : 0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1 \) } समुच्चय दिया गया है, और हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है

इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।

हमें असमिका \(0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1 \) में \(x\) का हल निकालने के लिए कहा गया है।

\(0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1\)

⇒ \(0 < x < \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\) 2.

अंश और हर को \(\sqrt{2} + 1 \) से गुणा करें

\(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}\)

इसलिए, असमिका \(0 < x < 3 + 2\sqrt{2}\) हो जाती है

समुच्चय \( A \) में परिमेय संख्याएँ \( x \in \mathbb{Q} \) शामिल हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करती हैं। इसलिए,

इस समुच्चय का उच्चक \(\sup A \) \( 3 + 2\sqrt{2} \) है, जो \(x \) के लिए निम्नतम उपरि परिबंध है।

निम्नक \(\inf A \), 0 है, क्योंकि \(x \) धनात्मक पक्ष से 0 के निकट पहुँचता है परंतु कभी 0 तक नहीं पहुँचता है।

सही कथन \(\sup A = 3 + 2\sqrt{2} \) है। 

अतः विकल्प 2) सही है।

व्याख्या-

दिया गया है A = \(\left\{\left.t \sin \left(\frac{1}{t}\right) \right\rvert\, t \in\left(0, \frac{2}{\pi}\right)\right\}\).

\(t \in (0, \frac{2}{\pi}) \Rightarrow \frac{1}{t} \in ( \frac{\pi}{2}, \infty).\)

\(\Rightarrow \sup {\sin \left(\frac{1}{t}\right) }=1 \) पर \(t=\frac{2}{\pi}.\)

और \(\inf {\sin \left(\frac{1}{t}\right) }=-1 \) पर \(t=\frac{2}{3\pi}.\)

इसलिए, \(\sup(A)=\frac{2}{\pi} , \inf(A)=\frac{-2}{3\pi}.\)

इस प्रकार \(\sup(A) < \frac{2}{\pi}+ \frac{1}{n \pi} ; \forall n \geq 1\)

इसलिए, विकल्प (1) सत्य है, लेकिन विकल्प (3) असत्य है।

और \(\inf(A) > \frac{-2}{3\pi}- \frac{1}{n \pi} ; \forall n \geq 1\)

इसलिए, विकल्प (2) सत्य है, लेकिन विकल्प (4) असत्य है।

स्पष्टीकरण:

a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = \((-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)\left(\left|a_n\right|+\frac{2}{\left|a_n\right|}\right)\)

यदि n सम है an + 1 ≥ 0

तथा an + 1 = \(\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\)....(i)

यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 = \(-\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\)....(ii)

क्योंकि n सम है,

माना \(\lim_{n\to\infty}a_n\) = l तब \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}\) = l तब

(i) से,

l = \(\frac{1}{2}\left(l+\frac{2}{l}\right)\)

2l = \(l+\frac{2}{l}\)

l = 2/l

l² = 2

l = ± √2

चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2

इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2

इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं

इसलिए lim sup an = √2, lim inf an = √2

चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए  lim an विद्यमान नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं

अब, a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = \((-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)\left(\left|a_n\right|+\frac{2}{\left|a_n\right|}\right)\)

इसलिए, a₂ = \(-\frac{1}{2}\left(1+\frac2{1}\right)\) = -3/2

a3 = \(\frac{1}{2}\left(\frac32+\frac4{3}\right)\) = 17/12 > √2

इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।

विकल्प (4) असत्य है

व्याख्या:

= =

इसलिए = = e⁰ = 1 1

विकल्प (1) गलत है।

इसके अलावा = = e < π

विकल्प (3) सही है।

इसके अलावा = =

इसलिए = जो परिमित है

विकल्प (2) गलत है।

= जो परिमित है

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

समुच्चय का उच्चक \(\sup A \), \(x\) का निम्नतम उपरि परिबंध है। निम्नक \(\inf A \), \(x\) का महत्तम निम्नतम परिबंध है।

हमें \( \mathbb{R} \) के उपसमुच्चय के रूप में \( A = \{ x \in \mathbb{Q} : 0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1 \) } समुच्चय दिया गया है, और हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है

इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।

हमें असमिका \(0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1 \) में \(x\) का हल निकालने के लिए कहा गया है।

\(0 < (\sqrt{2} - 1)x < \sqrt{2} + 1\)

⇒ \(0 < x < \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}\) 2.

अंश और हर को \(\sqrt{2} + 1 \) से गुणा करें

\(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}\)

इसलिए, असमिका \(0 < x < 3 + 2\sqrt{2}\) हो जाती है

समुच्चय \( A \) में परिमेय संख्याएँ \( x \in \mathbb{Q} \) शामिल हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करती हैं। इसलिए,

इस समुच्चय का उच्चक \(\sup A \) \( 3 + 2\sqrt{2} \) है, जो \(x \) के लिए निम्नतम उपरि परिबंध है।

निम्नक \(\inf A \), 0 है, क्योंकि \(x \) धनात्मक पक्ष से 0 के निकट पहुँचता है परंतु कभी 0 तक नहीं पहुँचता है।

सही कथन \(\sup A = 3 + 2\sqrt{2} \) है। 

अतः विकल्प 2) सही है।

अवधारणा:

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf (-1)^n = -1\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup (-1)^n = 1\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } x^n = 0\) (यदि -1 < x < 1)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\)

स्पष्टीकरण:

दिया गया है \({a_n} = 3 + 5{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{4} + {{\left( { - 1} \right)}^n}}\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf {a_n}\) = \(\lim \limits_{n \to \infty } \inf \left( 3 + 5{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{4} + {{\left( { - 1} \right)}^n}}\frac{2}{n} \right) \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf {a_n}\) = \(3 + 5\lim \limits_{n \to \infty } \inf{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + \lim \limits_{n \to \infty } \inf{\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{4} +\lim \limits_{n \to \infty } \inf {{\left( { - 1} \right)}^n}}\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf {a_n}\) = \(3 + 5\lim \limits_{n \to \infty } \inf{(-1)^n\left( { \frac{1}{2}} \right)^n} + \lim \limits_{n \to \infty } \inf{\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{4} +\lim \limits_{n \to \infty } \inf {{\left( { - 1} \right)}^n}}\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf {a_n}\) = \(3 + 5\lim \limits_{n \to \infty } {(-1)\left( { \frac{1}{2}} \right)^n} + {\left( { - 1} \right)}\left( {\frac{1}{4} +\lim \limits_{n \to \infty } {{\left( { - 1} \right)}}}\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf {a_n}\) = \(3 - 5\lim \limits_{n \to \infty } {\left( { \frac{1}{2}} \right)^n} - \left( {\frac{1}{4} -\lim \limits_{n \to \infty } }\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf {a_n}\) = 3 - (5 × 0) - \(\rm \displaystyle ​​\frac{1}{4}\) + 2 × 0 = 3 - \(\rm \displaystyle ​​\frac{1}{4}\) = \(\rm \displaystyle ​​\frac{11}{4}\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \inf {a_n}\) = \(\rm \displaystyle ​​\frac{11}{4}\)

इसी प्रकार,

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup {a_n}\) =\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup \left( 3 + 5{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{4} + {{\left( { - 1} \right)}^n}}\frac{2}{n} \right) \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup {a_n}\) = \(3 + 5\lim \limits_{n \to \infty } \sup {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + \lim \limits_{n \to \infty } \sup {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{4} +\lim \limits_{n \to \infty } \sup {{\left( { - 1} \right)}^n}}\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup {a_n}\) = \(3 + 5\lim \limits_{n \to \infty } \sup {(-1)^n\left( { \frac{1}{2}} \right)^n} + \lim \limits_{n \to \infty } \sup {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{4} +\lim \limits_{n \to \infty } \sup {{\left( { - 1} \right)}^n}}\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup {a_n}\) = \(3 + 5\lim \limits_{n \to \infty } {(1)\left( { \frac{1}{2}} \right)^n} + {\left( { 1} \right)}\left( {\frac{1}{4} +\lim \limits_{n \to \infty } {{\left( { 1} \right)}}}\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup {a_n}\) = \(3 + 5\lim \limits_{n \to \infty } {\left( { \frac{1}{2}} \right)^n} + \left( {\frac{1}{4} +\lim \limits_{n \to \infty } }\frac{2}{n} \right)\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup {a_n}\) = 3 + (5 × 0) + \(\rm \displaystyle ​​\frac{1}{4}\) + 2 × 0 = 3 + \(\rm \displaystyle ​​\frac{1}{4}\) = \(\rm \displaystyle ​​\frac{13}{4}\)

\(\lim \limits_{n \to \infty } \sup {a_n}\) = \(\rm \displaystyle ​​\frac{11}{4}\)

इसलिए \(\left( {\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {a_n},\,\mathop {\lim \sup {a_n}}\limits_{n \to \infty } } \right) = \left( \frac{11}{4},\frac{13}{4} \right)\)

इसलिए सही विकल्प 2 है।

स्पष्टीकरण:

{ \(\frac1n\) ; n, \(\mathbb N\) से संबंधित है} = {1, \(\frac12\) , \(\frac13\) , \(\frac14\) , \(\frac15\) , ...}

और \(\lim_{n\to\infty}\frac1n\) = 0

अतः समुच्चय का निम्नक 0 है और समुच्चय का उच्चक 1 है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संप्रत्यय:

\(\rm \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}Inf a_n+\rm \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} Inf b_n≤\rm \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} Inf(a_n+b_n)\)

और \(\rm \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}Sup(a_n+b_n)≤\rm \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}Sup a_n+\rm \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\ Supb_n\)

व्याख्या:

∴ प्रत्यक्ष गुणों से, विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (3) असत्य है।

(2) समुच्चय E + F ऊपर से परिबद्ध है यदि और केवल यदि, E और F ऊपर से परिबद्ध हैं। ∴ Lim Sup (E + F) का अस्तित्व है यदि और केवल यदि दोनों lim Sup E और lim Sup F का अस्तित्व है।

अस्तित्व में है, तो a ∈ E, b ∈ F के लिए

a + b ≤ lim Sup E + lim Sup F .......(i)

अब, ε > 0 के लिए, a ∈ E और b ∈ F इस प्रकार विद्यमान हैं कि

a > lim Sup \(\rm E-\frac{ε}{9}\), b > lim Sup \(\rm F-\frac{ε}{2}\)

⇒ a + b > lim Sup E + lim Sup F - ε, ∀ε > 0

⇒ lim Sup (E + F) ≥ lim Sup E + lim Sup F ..........(ii)

(i) + (ii) ⇒ lim Sup (E + F) = lim Sup E + lim Sup F

इसी प्रकार, lim Inf (E + F) = lim Inf A + lim Inf B

lim Sup (E - F) = lim Sup E - lim Inf F

lim Inf (E - F) = lim Inf E - lim Sup F

विकल्प (2) और (4) असत्य हैं।

व्याख्या:

= =

इसलिए = = e⁰ = 1 1

विकल्प (1) गलत है।

इसके अलावा = = e < π

विकल्प (3) सही है।

इसके अलावा = =

इसलिए = जो परिमित है

विकल्प (2) गलत है।

= जो परिमित है

विकल्प (4) गलत है।

स्पष्टीकरण:

a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = \((-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)\left(\left|a_n\right|+\frac{2}{\left|a_n\right|}\right)\)

यदि n सम है an + 1 ≥ 0

तथा an + 1 = \(\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\)....(i)

यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 = \(-\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)\)....(ii)

क्योंकि n सम है,

माना \(\lim_{n\to\infty}a_n\) = l तब \(\lim_{n\to\infty}a_{n+1}\) = l तब

(i) से,

l = \(\frac{1}{2}\left(l+\frac{2}{l}\right)\)

2l = \(l+\frac{2}{l}\)

l = 2/l

l² = 2

l = ± √2

चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2

इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2

इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं

इसलिए lim sup an = √2, lim inf an = √2

चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए  lim an विद्यमान नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं

अब, a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = \((-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)\left(\left|a_n\right|+\frac{2}{\left|a_n\right|}\right)\)

इसलिए, a₂ = \(-\frac{1}{2}\left(1+\frac2{1}\right)\) = -3/2

a3 = \(\frac{1}{2}\left(\frac32+\frac4{3}\right)\) = 17/12 > √2

इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।

विकल्प (4) असत्य है

स्पष्टीकरण:

R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसकी न्यूनतम उपरि सीमा (l.u.b) होती है और R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो नीचे से परिबद्ध है, उसकी अधिकतम निचली सीमा (g.l.b) होती है। 

आइए समुच्चय A = {x ∈ R : x < 3} पर विचार करें। इस समुच्चय में वे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं जो अनिवार्यतः 3 से कम हैं।

• समुच्चय A ऊपर से परिबद्ध हुआ है क्योंकि 3, A के लिए उपरि सीमा है। 3 से कम कोई भी संख्या भी एक उपरि सीमा है।
• हालाँकि, A की न्यूनतम उपरि सीमा (उच्चक) 3 है, क्योंकि यह A के सभी अवयवों से बड़ी या उसके बराबर सबसे छोटी वास्तविक संख्या है। 3 से कम कोई भी संख्या A के लिए उपरि परिबद्ध नहीं है।

अतः विकल्प (3) सत्य है।