Supremum & Infimum MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Supremum & Infimum - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

u_n =

जब n सम है,

u_n =

इसलिए, = = e

और जब n विषम है,

un =

इसलिए, = = 1/e

lim sup un = e, lim inf un = 1/e

विकल्प (4) सही है।

अवधारणा:

समुच्चय का उच्चक ,  का निम्नतम उपरि परिबंध है। निम्नक ,  का महत्तम निम्नतम परिबंध है।

हमें के उपसमुच्चय के रूप में } समुच्चय दिया गया है, और हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है

इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।

हमें असमिका  में का हल निकालने के लिए कहा गया है।

⇒ 2.

अंश और हर को से गुणा करें

इसलिए, असमिका  हो जाती है

समुच्चय  में परिमेय संख्याएँ शामिल हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करती हैं। इसलिए,

इस समुच्चय का उच्चक  है, जो के लिए निम्नतम उपरि परिबंध है।

निम्नक , 0 है, क्योंकि धनात्मक पक्ष से 0 के निकट पहुँचता है परंतु कभी 0 तक नहीं पहुँचता है।

सही कथन है। 

अतः विकल्प 2) सही है।

व्याख्या-

दिया गया है A = .

पर

और पर

इसलिए,

इस प्रकार

इसलिए, विकल्प (1) सत्य है, लेकिन विकल्प (3) असत्य है।

और \frac{-2}{3\pi}- \frac{1}{n \pi} ; \forall n \geq 1\)

इसलिए, विकल्प (2) सत्य है, लेकिन विकल्प (4) असत्य है।

स्पष्टीकरण:

a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

यदि n सम है an + 1 ≥ 0

तथा an + 1 = ....(i)

यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 = ....(ii)

क्योंकि n सम है,

माना  = l तब  = l तब

(i) से,

l = 

2l = 

l = 2/l

l² = 2

l = ± √2

चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2

इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2

इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं

इसलिए lim sup an = √2, lim inf an = √2

चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए  lim an विद्यमान नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं

अब, a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

इसलिए, a₂ =  = -3/2

a3 =  = 17/12 > √2

इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।

विकल्प (4) असत्य है

व्याख्या:

= =

इसलिए = = e⁰ = 1 1

विकल्प (1) गलत है।

इसके अलावा = = e

विकल्प (3) सही है।

इसके अलावा = =

इसलिए = जो परिमित है

विकल्प (2) गलत है।

= जो परिमित है

विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

समुच्चय का उच्चक ,  का निम्नतम उपरि परिबंध है। निम्नक ,  का महत्तम निम्नतम परिबंध है।

हमें के उपसमुच्चय के रूप में } समुच्चय दिया गया है, और हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है

इस समुच्चय का सही उच्चक (sup) और निम्नक (inf)।

हमें असमिका  में का हल निकालने के लिए कहा गया है।

⇒ 2.

अंश और हर को से गुणा करें

इसलिए, असमिका  हो जाती है

समुच्चय  में परिमेय संख्याएँ शामिल हैं जो इस असमिका को संतुष्ट करती हैं। इसलिए,

इस समुच्चय का उच्चक  है, जो के लिए निम्नतम उपरि परिबंध है।

निम्नक , 0 है, क्योंकि धनात्मक पक्ष से 0 के निकट पहुँचता है परंतु कभी 0 तक नहीं पहुँचता है।

सही कथन है। 

अतः विकल्प 2) सही है।

अवधारणा:

(यदि -1

स्पष्टीकरण:

दिया गया है

=

=

=

=

=

= 3 - (5 × 0) - + 2 × 0 = 3 - =

=

इसी प्रकार,

=

=

=

=

=

= 3 + (5 × 0) + + 2 × 0 = 3 + =

=

इसलिए

इसलिए सही विकल्प 2 है।

व्याख्या:

कथन-1: sup (E) = (1, 0)

यह दिखाने के लिए कि (1, 0) एक ऊपरी सीमा है

अर्थात, ≤ (1, 0) चूँकि

या जब = 1, 1 − = 0

⇒ (1, 0) ऊपरी सीमा है।

अब (1, 0) का प्रत्येक पड़ोस N, (1, 0) ∈ E रखता है और इसलिए कोई भी (a, b) ∈ N ऐसा नहीं है कि (a, b) ≤ (1, 0) ऊपरी सीमा नहीं है।

कथन-2: inf (E) मौजूद नहीं है

E की निचली सीमाओं का समुच्चय = S (मान लीजिये)

⇒ (a, b) ≤

⇒ a या a = और b ≤ 1 −

A नहीं हो सकता क्योंकि हम हमेशा से कम वास्तविक संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं

⇒ a

⇒ S = {(x, y) ∈ ℝ² ∶ x ≤ 0} S इन्फिमम देगा, जो मौजूद नहीं है।

इसलिए inf(E) मौजूद नहीं है लेकिन sup(E) = (1, 0)

विकल्प (2) सही है

प्रयुक्त अवधारणा:

• जिसे बाह्य सीमा भी कहा जाता है, में वे अवयव होते हैं जो में बिंदुओं की सीमाएँ हैं, जिन्हें (गणनीय रूप से) अनंत . से लिया गया है। अर्थात्, ∈lim sup यदि और केवल यदि बिंदुओं का एक क्रम () और () का एक उपक्रम मौजूद है () ऐसा है कि ∈ और lim→∞=.
• lim inf, जिसे आंतरिक सीमा भी कहा जाता है, में वे अवयव होते हैं जो में बिंदुओं की सीमाएँ हैं, परिमित को छोड़कर (अर्थात, गणनीय रूप से परिमित के लिए)। अर्थात्, ∈lim inf यदि और केवल यदि बिंदुओं का एक क्रम () मौजूद है ऐसा है कि ∈ और lim→∞=.

व्याख्या:

विकल्प (1) :

मान लीजिये = { 0, 2, 0, 2,......}

Lim inf = 0 परन्तु अनुक्रम की सीमा मौजूद नहीं है

अब = { 0, 4, 0, 4, 0,.........}

Lim inf = 0 परन्तु अनुक्रम की सीमा मौजूद नहीं है

∴ विकल्प (1) गलत है।

विकल्प (2) :

बीजगणितीय गुण का उपयोग करके n N

Lim sup ⇒ अनुक्रम परिबद्ध है

⇒ Lim

⇒ Lim

∴ विकल्प (2) सही है।

विकल्प (3):

मान लीजिये 0, यदि n विषम है

= n, यदि n सम है

Lim inf परन्तु { } परिबद्ध नहीं है

∴ विकल्प (3) गलत है।

विकल्प (4):

मान लीजिये 3, यदि n विषम है

= 4, यदि n सम है

Lim inf 4\)

परन्तु lim sup

∴ विकल्प (4) गलत है।

स्पष्टीकरण:

{  ; n,  से संबंधित है} = {1, , , , , ...}

और = 0

अतः समुच्चय का निम्नक 0 है और समुच्चय का उच्चक 1 है। 

अतः विकल्प (2) सही है। 

संप्रत्यय:

और

व्याख्या:

∴ प्रत्यक्ष गुणों से, विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (3) असत्य है।

(2) समुच्चय E + F ऊपर से परिबद्ध है यदि और केवल यदि, E और F ऊपर से परिबद्ध हैं। ∴ Lim Sup (E + F) का अस्तित्व है यदि और केवल यदि दोनों lim Sup E और lim Sup F का अस्तित्व है।

अस्तित्व में है, तो a ∈ E, b ∈ F के लिए

a + b ≤ lim Sup E + lim Sup F .......(i)

अब, ε > 0 के लिए, a ∈ E और b ∈ F इस प्रकार विद्यमान हैं कि

a > lim Sup , b > lim Sup

⇒ a + b > lim Sup E + lim Sup F - ε, ∀ε > 0

⇒ lim Sup (E + F) ≥ lim Sup E + lim Sup F ..........(ii)

(i) + (ii) ⇒ lim Sup (E + F) = lim Sup E + lim Sup F

इसी प्रकार, lim Inf (E + F) = lim Inf A + lim Inf B

lim Sup (E - F) = lim Sup E - lim Inf F

lim Inf (E - F) = lim Inf E - lim Sup F

विकल्प (2) और (4) असत्य हैं।

व्याख्या:

= =

इसलिए = = e⁰ = 1 1

विकल्प (1) गलत है।

इसके अलावा = = e

विकल्प (3) सही है।

इसके अलावा = =

इसलिए = जो परिमित है

विकल्प (2) गलत है।

= जो परिमित है

विकल्प (4) गलत है।

स्पष्टीकरण:

a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

यदि n सम है an + 1 ≥ 0

तथा an + 1 = ....(i)

यदि n विषम है an + 1 ≤ 0 और an + 1 = ....(ii)

क्योंकि n सम है,

माना  = l तब  = l तब

(i) से,

l = 

2l = 

l = 2/l

l² = 2

l = ± √2

चूँकि यह धनात्मक पदों का अनुक्रम है इसलिए l = √2

इसी प्रकार, यदि n विषम है तो l = - √2

इसलिए, सीमा बिंदु {-√2, √2} हैं

इसलिए lim sup an = √2, lim inf an = √2

चूँकि इसके दो सीमा बिंदु हैं इसलिए  lim an विद्यमान नहीं है।

विकल्प (1) सत्य है और विकल्प (2) और (3) असत्य हैं

अब, a1 = 1 और n ≥ 1 के लिए, an + 1 = 

इसलिए, a₂ =  = -3/2

a3 =  = 17/12 > √2

इसलिए, sup an, √2 नहीं हो सकता।

विकल्प (4) असत्य है

स्पष्टीकरण:

R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो ऊपर से परिबद्ध है, उसकी न्यूनतम उपरि सीमा (l.u.b) होती है और R का कोई भी गैर-रिक्त समुच्चय जो नीचे से परिबद्ध है, उसकी अधिकतम निचली सीमा (g.l.b) होती है। 

आइए समुच्चय $A=\{x\in \mathbb{R}:x3\}$पर विचार करें। इस समुच्चय में वे सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं जो अनिवार्यतः 3 से कम हैं।

• समुच्चय $A$ ऊपर से परिबद्ध हुआ है क्योंकि 3, A के लिए उपरि सीमा है। 3 से कम कोई भी संख्या भी एक उपरि सीमा है।
• हालाँकि, A की न्यूनतम उपरि सीमा (उच्चक) 3 है, क्योंकि यह A के सभी अवयवों से बड़ी या उसके बराबर सबसे छोटी वास्तविक संख्या है। 3 से कम कोई भी संख्या A के लिए उपरि परिबद्ध नहीं है।

अतः विकल्प (3) सत्य है।