Principles of Mathematical Induction MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Principles of Mathematical Induction - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్
Last updated on Mar 21, 2025
Latest Principles of Mathematical Induction MCQ Objective Questions
Principles of Mathematical Induction Question 1:
ప్రతి ధన పూర్ణాంకం n కు, k చే 3(52n+1) + 23n+1 భాగించబడితే, k కంటే తక్కువ గానూ లేదా సమానం గానూ ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 1 Detailed Solution
Principles of Mathematical Induction Question 2:
xn - 1 అనేది x - k చే భాగించబడితే, k యొక్క కనిష్ట ధన పూర్ణాంక విలువ ఏమిటి?
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 2 Detailed Solution
గణన:
ఇచ్చినవి; P(n): xn - 1 అనేది x - k చే భాగించబడుతుంది
⇒ P(1) : x - 1
⇒ P(2) : x2 - 1 = (x − 1)(x + 1)
⇒ P(3) : x3 - 1 = (x − 1)(x2 + xy + 1), మరియు అలాగే.
⇒ P(4) : x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
∴ అన్ని n ∈ N కు, P(n) అనేది n - 1 చే భాగించబడుతుంది.
∴ k యొక్క కనిష్ట ధన పూర్ణాంక విలువ 1.
Principles of Mathematical Induction Question 3:
అన్ని n ∈ N లకు, 3.52n+1 + 23n+1 దేనితో భాగించబడుతుంది?
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 3 Detailed Solution
గణన:
P(n) = 3.52n+1 + 23n+1 అనుకుందాం
∴ P(1) = 3.52+1 + 23+1 = 375 + 16 = 391
P(2) = 3.54+1 + 26+1 = 9375 + 128 = 9503
అన్ని n ∈ N లకు, P(1) మరియు P(2) లు రెండూ n తో భాగించబడతాయి.
∴ n = HCF(391, 9503) = 17
∴ 3.52n+1 + 23n+1 అనేది అన్ని n ∈ N లకు n తో భాగించబడుతుంది
Principles of Mathematical Induction Question 4:
n ∈ N అయితే, 10n + 3.4n+2 + k అనేది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. అయితే k యొక్క కనిష్ఠ ధన పూర్ణాంక విలువ
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 4 Detailed Solution
గణన:
P(n) : 10n + 3.4n+2 + k అనుకుందాం
ఇచ్చినది, n ∈ N అయినప్పుడు P(n) అనేది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది
P(1) = 101 + 3.41+2 + k = 202 + k, ఇది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది
(202 + k) అనేది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే, k విలువ 5 అవుతుంది [∵ 202 + 5 = 207, ఇది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది]
∴ k యొక్క కనిష్ఠ విలువ 5.
Principles of Mathematical Induction Question 5:
ఒక విద్యార్థి ప్రేరణ ద్వారా P(n) అనే ప్రకటనన్ని నిరూపించమని కోరబడ్డాడు. k > 5 ∈ N అయినప్పుడు P(k) నిజమైతే P(k+1) నిజమని మరియు P(5) నిజమని అతను నిరూపించాడు. దీని ఆధారంగా అతను P(n) నిజమని ముగించగలడు
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 5 Detailed Solution
గణన:
P(a) నిజమైతే మరియు P(n) నిజమని అనుకుంటే P(n+1) కూడా నిజమని అనుకుంటే, n ≥ a అయిన అన్ని n లకు P(n) నిజమని మనం ముగించవచ్చు, ఇక్కడ n ∈ N.
ఇక్కడ P(5) నిజం.
∴ n ≥ 5 అయిన అన్ని n లకు P(n) నిజమని మనం ముగించవచ్చు
Top Principles of Mathematical Induction MCQ Objective Questions
P(n) = 2 + 4 + ......+ 2n, n ϵ N అయితే, P(k) = k(k + 1) + 2 ⇒ P(k) = k(k + 1) + 2 అన్ని k ϵ N లకు. కాబట్టి P(n) = n(n + 1) + 2 అనేది ఏ సందర్భంలో నిజం అవుతుంది?
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFభావనలు:
గణిత ప్రేరణ సూత్రం:
n అనే సహజ సంఖ్యను కలిగి ఉన్న ఒక ప్రవచనం P(n) ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం. అది ఈ క్రింది షరతులను తీసుకుంటుంది:
- n = 1 కు ప్రవచనం నిజం, అంటే P(1) నిజం, మరియు
- n = k (ఇక్కడ k ఒక ధన పూర్ణ సంఖ్య) కు ప్రవచనం నిజమైతే, అప్పుడు n = k + 1 కు కూడా ప్రవచనం నిజం అవుతుంది, అంటే P(k) నిజం అని అనుకుంటే P(k + 1) కూడా నిజం అవుతుంది.
అప్పుడు, అన్ని సహజ సంఖ్యలు n లకు P(n) నిజం.
గణన:
ఇవ్వబడింది
P(n) = 2 + 4 + ......+ 2n
n = 1 అని ఉంచండి
P(1) = 2
కాబట్టి, n = 1 కు P(n) = n(n + 1) + 2 నిజం కాదు
కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం వర్తించదు మరియు P(n) = n(n + 1) + 2 ప్రవచనం యొక్క చెల్లుబాటు గురించి ఏమీ చెప్పలేము
పూర్ణాంక ప్రేరణ ద్వారా అన్ని n ∈ N కు
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన:
- గణిత ప్రేరణ: ఇది ఒక ప్రవచనాన్ని, సిద్ధాంతాన్ని లేదా సూత్రాన్ని నిరూపించే ఒక పద్ధతి, ఇది ప్రతి సహజ సంఖ్య n కు నిజమని భావిస్తారు.
- దీన్ని ఒక సూత్రంగా సాధారణీకరించడం ద్వారా, మనం ఏ గణిత ప్రవచనాన్ని నిరూపించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాన్ని గణిత ప్రేరణ సూత్రం అంటారు.
గణనలు:
పరిగణించండి
స్పష్టంగా, పై శ్రేణి నుండి rth పదం
rth పదాన్ని
ఇప్పుడు (1) లో 2 తో గుణించి, 2 తో భాగించండి
⇒
⇒
లవంలో r ని కలిపి, తీసివేయండి
⇒
⇒
⇒
ఇప్పుడు (2) లో r = 1 అని ఉంచండి, అప్పుడు మనకు వస్తుంది
r = 2 ని (2) లో ఉంచండి
⇒
r = 3 ని (2) లో ఉంచండి
⇒
. . . . . . .
r = n ని (2) లో ఉంచండి
ఇప్పుడు, ఈ అన్ని సమీకరణాలను కలపండి మరియు మనకు వస్తుంది
కాబట్టి, సరైన సమాధానం 4).
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన:
గణన:
ఇవ్వబడింది:
P(n): 3n
ఇది ప్రత్యక్షంగా ప్రయోగ పద్ధతి ద్వారా, ఎంపికను సమీకరణంలో ఉంచి దాని యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు
మనం మొదట ఎంపికల నుండి చిన్న సంఖ్యను ఎంచుకుంటాము
n = 3 అని ఉంచడం
P(n) = 3n 3
⇒ 27
n = 6 అని ఉంచడం
P(n) = 3n 3
P(n) = 3n 6
1029
n = 7 అని ఉంచండి
P(n) = 3n 7
2187
P(n) అనే ప్రకటన P(3) నిజం అని ఇవ్వబడింది. P(k) నిజం అని అనుకుందాం ⇒ k ≥ 3 అయిన అన్ని k లకు P(k + 1) నిజం అయితే, P(n) నిజం
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFభావనలు:
గణిత ప్రేరణ సూత్రం:
సహజ సంఖ్య n ని కలిగి ఉన్న ఇచ్చిన ప్రవచనం P (n) ఉందనుకుందాం, అది
- n = 1 కు ప్రవచనం నిజం, అంటే, P (1) నిజం, మరియు
- n = k (ఇక్కడ k ఏదైనా ధన పూర్ణ సంఖ్య) కు ప్రవచనం నిజం అయితే, n = k + 1 కు ప్రవచనం కూడా నిజం, అంటే P (k) యొక్క సత్యం P (k + 1) యొక్క సత్యాన్ని సూచిస్తుంది.
అప్పుడు, P (n) అన్ని సహజ సంఖ్యలు n లకు నిజం
ఇచ్చిన ప్రశ్నలో P(n) n = 3 కు నిజం
P(k) నిజం అని అనుకుంటే ⇒k ≥ 3 అయిన P(k+1) నిజం
కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం ద్వారా P(n) n ≥ 3 అయిన అన్ని n లకు నిజం.
xn - 1 అనేది x - k చే భాగించబడితే, k యొక్క కనిష్ట ధన పూర్ణాంక విలువ ఏమిటి?
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFగణన:
ఇచ్చినవి; P(n): xn - 1 అనేది x - k చే భాగించబడుతుంది
⇒ P(1) : x - 1
⇒ P(2) : x2 - 1 = (x − 1)(x + 1)
⇒ P(3) : x3 - 1 = (x − 1)(x2 + xy + 1), మరియు అలాగే.
⇒ P(4) : x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)
∴ అన్ని n ∈ N కు, P(n) అనేది n - 1 చే భాగించబడుతుంది.
∴ k యొక్క కనిష్ట ధన పూర్ణాంక విలువ 1.
అన్ని n ∈ N లకు, 3.52n+1 + 23n+1 దేనితో భాగించబడుతుంది?
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFగణన:
P(n) = 3.52n+1 + 23n+1 అనుకుందాం
∴ P(1) = 3.52+1 + 23+1 = 375 + 16 = 391
P(2) = 3.54+1 + 26+1 = 9375 + 128 = 9503
అన్ని n ∈ N లకు, P(1) మరియు P(2) లు రెండూ n తో భాగించబడతాయి.
∴ n = HCF(391, 9503) = 17
∴ 3.52n+1 + 23n+1 అనేది అన్ని n ∈ N లకు n తో భాగించబడుతుంది
n ∈ N అయితే, 10n + 3.4n+2 + k అనేది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది. అయితే k యొక్క కనిష్ఠ ధన పూర్ణాంక విలువ
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFగణన:
P(n) : 10n + 3.4n+2 + k అనుకుందాం
ఇచ్చినది, n ∈ N అయినప్పుడు P(n) అనేది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది
P(1) = 101 + 3.41+2 + k = 202 + k, ఇది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది
(202 + k) అనేది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడితే, k విలువ 5 అవుతుంది [∵ 202 + 5 = 207, ఇది 9తో నిశ్శేషంగా భాగింపబడుతుంది]
∴ k యొక్క కనిష్ఠ విలువ 5.
ఒక విద్యార్థి ప్రేరణ ద్వారా P(n) అనే ప్రకటనన్ని నిరూపించమని కోరబడ్డాడు. k > 5 ∈ N అయినప్పుడు P(k) నిజమైతే P(k+1) నిజమని మరియు P(5) నిజమని అతను నిరూపించాడు. దీని ఆధారంగా అతను P(n) నిజమని ముగించగలడు
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFగణన:
P(a) నిజమైతే మరియు P(n) నిజమని అనుకుంటే P(n+1) కూడా నిజమని అనుకుంటే, n ≥ a అయిన అన్ని n లకు P(n) నిజమని మనం ముగించవచ్చు, ఇక్కడ n ∈ N.
ఇక్కడ P(5) నిజం.
∴ n ≥ 5 అయిన అన్ని n లకు P(n) నిజమని మనం ముగించవచ్చు
Principles of Mathematical Induction Question 14:
P(n) = 2 + 4 + ......+ 2n, n ϵ N అయితే, P(k) = k(k + 1) + 2 ⇒ P(k) = k(k + 1) + 2 అన్ని k ϵ N లకు. కాబట్టి P(n) = n(n + 1) + 2 అనేది ఏ సందర్భంలో నిజం అవుతుంది?
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 14 Detailed Solution
భావనలు:
గణిత ప్రేరణ సూత్రం:
n అనే సహజ సంఖ్యను కలిగి ఉన్న ఒక ప్రవచనం P(n) ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం. అది ఈ క్రింది షరతులను తీసుకుంటుంది:
- n = 1 కు ప్రవచనం నిజం, అంటే P(1) నిజం, మరియు
- n = k (ఇక్కడ k ఒక ధన పూర్ణ సంఖ్య) కు ప్రవచనం నిజమైతే, అప్పుడు n = k + 1 కు కూడా ప్రవచనం నిజం అవుతుంది, అంటే P(k) నిజం అని అనుకుంటే P(k + 1) కూడా నిజం అవుతుంది.
అప్పుడు, అన్ని సహజ సంఖ్యలు n లకు P(n) నిజం.
గణన:
ఇవ్వబడింది
P(n) = 2 + 4 + ......+ 2n
n = 1 అని ఉంచండి
P(1) = 2
కాబట్టి, n = 1 కు P(n) = n(n + 1) + 2 నిజం కాదు
కాబట్టి, గణిత ప్రేరణ సూత్రం వర్తించదు మరియు P(n) = n(n + 1) + 2 ప్రవచనం యొక్క చెల్లుబాటు గురించి ఏమీ చెప్పలేము
Principles of Mathematical Induction Question 15:
పూర్ణాంక ప్రేరణ ద్వారా అన్ని n ∈ N కు
Answer (Detailed Solution Below)
Principles of Mathematical Induction Question 15 Detailed Solution
భావన:
- గణిత ప్రేరణ: ఇది ఒక ప్రవచనాన్ని, సిద్ధాంతాన్ని లేదా సూత్రాన్ని నిరూపించే ఒక పద్ధతి, ఇది ప్రతి సహజ సంఖ్య n కు నిజమని భావిస్తారు.
- దీన్ని ఒక సూత్రంగా సాధారణీకరించడం ద్వారా, మనం ఏ గణిత ప్రవచనాన్ని నిరూపించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాన్ని గణిత ప్రేరణ సూత్రం అంటారు.
గణనలు:
పరిగణించండి
స్పష్టంగా, పై శ్రేణి నుండి rth పదం
rth పదాన్ని
ఇప్పుడు (1) లో 2 తో గుణించి, 2 తో భాగించండి
⇒
⇒
లవంలో r ని కలిపి, తీసివేయండి
⇒
⇒
⇒
ఇప్పుడు (2) లో r = 1 అని ఉంచండి, అప్పుడు మనకు వస్తుంది
r = 2 ని (2) లో ఉంచండి
⇒
r = 3 ని (2) లో ఉంచండి
⇒
. . . . . . .
r = n ని (2) లో ఉంచండి
ఇప్పుడు, ఈ అన్ని సమీకరణాలను కలపండి మరియు మనకు వస్తుంది
కాబట్టి, సరైన సమాధానం 4).