रिंग पर स्थित एक कण जो कि एक लगे हुए विद्युत क्षेत्र से अन्‍योन्‍यक्रिया करने के कारण क्षोभित है, पर विचार कीजिए। यदि क्षोभ H' = μE cos Φ है, जहां पर μ द्विध्रुवी आघूर्ण है तो प्रथम कोटि तक सही उर्जा स्‍तर हैं

संकल्पना:

• व्युत्क्रम सिद्धांत किसी भी निकाय के सटीक हल को अत्यधिक सटीकता के साथ ज्ञात करने की एक सन्निकटन विधि है।
• किसी विशेष ऊर्जा स्तर में ऊर्जा संशोधन को तोड़ने के लिए, हमें एक विशिष्ट क्रम में संचालक को विक्षुब्ध करना होगा।
• ऊर्जा संशोधन दिया गया है,

\(\Delta E = \int {{\Psi ^ * }_ \circ {H^I}} {\Psi _ \circ }d\tau \)

• प्रथम क्रम तक विक्षुब्ध ऊर्जा स्तर दिए गए हैं,

​\(E = {E^{\left( 0 \right)}} + {E^{\left( I \right)}}\)

• एक वलय में कण के लिए, आधार अवस्था क्वांटित ऊर्जा मान हैं,

\({E^{\left( 0 \right)}} = {{{m_l}^2{\hbar ^2}} \over {2l}}\), जहाँ ml चुंबकीय क्वांटम संख्या है।

व्याख्या:

• एक वलय में कण के लिए जो एक लगाए गए विद्युत क्षेत्र (E) के साथ परस्पर क्रिया करके विक्षुब्ध होता है, विक्षोभ है

\({H^I} = \mu E\cos \phi \)

• एक वलय में कण के लिए, तरंग फलन दिया गया है,

​ \(\Psi = N{e^{in\phi }}\)

• प्रथम-कोटि विक्षुब्ध ऊर्जा (\({E^{\left( I \right)}}\)) दी गई है,

\({E^{\left( I \right)}} = \int_0^{2\pi } {{\Psi _ \circ }\left( {\mu E\cos \phi } \right){\Psi _ \circ }d\phi } \)

\( = \int_0^{2\pi } {N{e^{in\phi }}\left( {\mu E\cos \phi } \right)N{e^{ - in\phi }}d\varphi } \)

\( = {N^2}\mu E\int_0^{2\pi } {{e^{in\phi - in\phi }}\cos \phi d\phi } \)

\( = {N^2}\mu E\int_0^{2\pi } {\cos \phi d\phi } \)

\( = {N^2}\mu E[\sin 2\pi - \sin 0]\)

=0

निष्कर्ष:

• इसलिए, ऊर्जा स्तर प्रथम कोटि तक सही हैं,

\(E = {E^{\left( 0 \right)}} + {E^{\left( I \right)}}\)

\( = {{{m_l}^2{\hbar ^2}} \over {2l}} + 0\)​

\( = {{{m_l}^2{\hbar ^2}} \over {2l}}\)