x के सभी वास्तविक मानों के लिये,  का न्यूनतम मान बराबर है -

संकल्पना:

द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 है

विविक्‍तकर का मान b² - 4ac है

यदि b² - 4ac > 0 हो तो द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।

यदि b² - 4ac = 0 हो तो द्विघात समीकरण का एक पुनरावृत्त वास्तविक मूल है।

यदि b² - 4ac < 0 हो तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

गणना:

हमारे पास है,

⇒ y = 

⇒ (1 + x + x²)y = 1 - x + x²

⇒ y + xy + x²y = 1 - x + x²

⇒ x²y - x² + xy + x + y - 1 = 0

⇒ x²(y - 1) + x(y + 1) + (y - 1) = 0

चूँकि x वास्तविक है, D = b² - 4ac ≥ 0

⇒ (y + 1)² - 4(y - 1)(y - 1) ≥ 0

⇒ y² + 2y + 1 - 4(y² + 1 - 2y) ≥ 0

⇒ y² + 2y + 1 - 4y² - 4 + 8y ≥ 0

⇒ -3y² + 10y - 3 ≥ 0

⇒ 3y² - 10y + 3 ≤ 0

⇒ 3y² - 9y - y + 3 ≤ 0

⇒ 3y(y - 3) -1(y - 3) ≤ 0

⇒ (3y - 1)(y - 3) ≤ 0

y ≤ 1/3 or y ≤ 3

तब,   ≤ y ≤ 3 

y का न्यूनतम मान 1/3 है

∴ x के सभी वास्तविक मानों के लिए,  का न्यूनतम मान 1/3 के बराबर है।