माना कि A और B समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह हैं। यदि AB एक शून्य आव्यूह है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

व्याख्या:

दिया गया है, AB = O

माना कि A = \(\left[\begin{array}{lll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\)

B = \(\left[\begin{array}{lll} p & q \\ r & s \end{array}\right]\)

अब AB = \(\left[\begin{array}{lll} a & b \\ c & d \end{array}\right] \left[\begin{array}{lll} p & q \\ r & s \end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{lll} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\)

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ ap + br = 0...(1)

⇒ aq + bs = 0...(2)

⇒ cp + dr = 0...(3)

⇒ cq + ds = 0...(4)

समीकरणों (i) और (iii) से, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (ad - bc)p = 0 और (ad - bc)r = 0

समीकरणों (ii) और (iv) से, हमें प्राप्त होता है:

⇒ (ad - bc) q = 0 और (ad - bc)s = 0

अब, यदि A व्युत्क्रमणीय है। 

ad - bc ≠ 0

इसलिए, p = q = r = s = 0

तब, B शून्य आव्यूह है।

∴ विकल्प (c) सही है।