मान लीजिए A एक 2 × 2 वास्तविक आव्यूह है जिसमें det A = 1 और ट्रेस A = 3 है। ट्रेस A² का मान क्या है?

गणना:

मान लीजिए a और b, A के दो आइगेन मान हैं।

a + b = 3 . . . . . . 1

ab = 1 . . . . . . . 2

(a - b )² = (a +b)² - 4ab

(a-b ) ² = 5

a - b = \(\sqrt{5}\) . . . . 3

अब, समीकरण 1 और 3 से, हमें मिलता है

a = \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\) और b = \(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)

trace ( A² ) = a² + b² = 7

इसलिए विकल्प (4) सही है।

Alternate Method 

विधि -I मान लीजिए λ₁ और λ₂ A के दो आइगेन मान हैं।

तब det A = λ₁ λ₂ = 1

& Trace A = λ₁ + λ₂ = 3

और, A² के आइगेन मान λ₁², λ₂² हैं।

⇒ Trace (A²) = λ12 + λ22

अब, (λ₁ + λ₂)² = λ12 + λ22 + 2λ₁λ₂

⇒ (3)² = λ₁² + λ₂² + 2

⇒ λ12 + λ22 = 9 - 2 = 7

इसलिए विकल्प (4) सही है।

विधि - II

Ch_A (x) = x² - Trace (A) x + Det (A) = 0

⇒ x² - 3x + 1 = 0 ⇒ \(x=\frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2}\)

\(\Rightarrow λ_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, \frac{3-\sqrt{5}}{2}=\) λ₂ जो A के आइगेन मान हैं।

तब A² के आइगेन मान हैं,

\(λ_1{ }^2=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^2 =\frac{9+5+6 \sqrt{5}}{4}=\frac{14+6 \sqrt{5}}{4}\)

\(+\lambda_2^2=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{9+5-6 \sqrt{5}}{4}=\frac{14-6 \sqrt{5}}{4}\)

तब trace \(\left(A^2\right)=\lambda_1^2+\lambda_2^2=\frac{14+6 \sqrt{5}}{4}+\frac{14-6 \sqrt{5}}{4}=\frac{28}{4}\) = 7

इसलिए विकल्प (4) सही है।