γ को {z ∈ \(\mathbb{C}\) ∶ |z - 1| = 1} से दिए जाने वाले सम्मिश्र समतल में धनात्मक रूप से अभिविन्यस्त वृत्त मान लें। तब \(\frac{1}{2 \pi i} \int_γ \frac{d z}{z^3-1}\) निम्न के बराबर है

संप्रत्यय:

कॉची समाकल प्रमेय:

यदि एक सम्मिश्र फलन f(z) एक सरल-संबद्ध डोमेन के अंदर एक बंद कंटूर C के अंदर और उस पर विश्लेषणात्मक है, और यदि a, C के मध्य में कोई बिंदु है, तो

f(a) = \(\frac{1}{2 π i} \int_C \frac{f(z)}{z-a}\)

व्याख्या:

\(\int_γ \frac{d z}{z^3-1}\) = \(\int_γ \frac{d z}{(z-1)(z^2+z+1)}\)

इसलिए ध्रुव दिए गए हैं

(z - 1)(z² + z +1) = 0 ⇒ z = 1, z = \(\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\) = \(\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\)

γ के अंदर ध्रुव z = 1 है

अतः f(z) = \(\frac{1}{(z^2+z+1)}\) γ के अंदर विश्लेषणात्मक है

इसलिए कॉची समाकल प्रमेय द्वारा,

\(\frac{1}{2 π i} \int_γ \frac{d z}{z^3-1}\) = f(1) = \(\frac{1}{1+1+1}\) = 1/3

विकल्प (2) सही है