माना कि p एक धनात्मक पूर्णांक है। संवृत वक्र r(t) = eit, 0 ≤ t < 2π पर विचार करें। माना कि f ऐसा फलन है जो {z ∶ |z| < R} में सममितीय (होलामॉर्फिक) है जहाँ R > 1 है। यदि f के शून्य केवल z0 में हो, z0 ≠ 0, |z0| < R, और उसकी बहुकता (multiplicity) q हो, तब

\(\frac{1}{2 π i} \int_r \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} z^p d z\)

का मान निम्न है

अवधारणा:

संशोधित युक्ति सिद्धांत

मान लीजिये f एक पूर्णांकीय फलन है जिसका किसी सरलत: संयोजित क्षेत्र D की सीमा पर कोई शून्य नहीं है और N + P क्रमशः f के शून्यों और ध्रुवों की संख्या को दर्शाता है, बहुलता के साथ गिना गया है। तब, एक विश्लेषणात्मक fⁿ के लिए

^{\(\frac{1}{2 \pi i} \int \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} g(z)\)} dz = ∑ g(a_i) n(D, ai) -∑ g(bi) n(D, b_i)

जहाँ, n(D, z) = z के चारों ओर D की घुमाव संख्या, z ∈ D।

और a_i = f के सभी शून्य बहुलता के साथ

& b_i = क्रमों के साथ f के ध्रुव।

व्याख्या:

यहाँ, हमें दिया गया है, f का शून्य केवल z₀ पर है, 0 < |z₀| < R।

⇒ b_i = 0 ∵ f के कोई ध्रुव नहीं हैं

(∵ f पूर्णांकीय है)

\(\frac{1}{2\pi i}\int \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} z^p d z=\sum g\left(q_i\right) n_i\)

= g(z0).q (∵ z0 केवल शून्य है, बहुलता के साथ)

\(\frac{1}{2 \pi i}\frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} z^p d z=z_0^p \cdot q\) (∵ g(z) = z^p)

विकल्प (1) सही है।