मान लीजिए कि C सभी समुच्चयों S का संग्रह है जिसके लिए S का घात समुच्चय गणनीय अनंत है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

संप्रत्यय:

1. घात समुच्चय: किसी समुच्चय S का घात समुच्चय, जिसे \( \mathcal{P}(S) \) से दर्शाया जाता है, S के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है।

यदि S में \(n\) अवयव हैं, तो \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं।

2. गणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय गणनीय अनंत होता है यदि इसके अवयवों को प्राकृत संख्याओं के साथ एक-से-एक संगति में रखा जा सकता है (अर्थात, इसका गणनीयता \(\mathbb{N} \) के समान है)।

3. अगणनीय अनंत समुच्चय: एक समुच्चय अगणनीय होता है यदि वह गणनीय अनंत नहीं है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याएँ \( \mathbb{R} \) )।

4. घात समुच्चय और गणनीयता: यदि घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) गणनीय अनंत है, तो S परिमित नहीं हो सकता।

यह इसलिए है क्योंकि किसी भी परिमित समुच्चय S के लिए, इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) में \( 2^n \) अवयव होते हैं, जहाँ \(n\), \(S\) में अवयवों की संख्या है, और \( 2^n \) हमेशा परिमित होता है। इसके अतिरिक्त, यदि \(S\) अगणनीय अनंत है, तो इसका घात समुच्चय \( \mathcal{P}(S) \) अगणनीय अनंत होगा।

व्याख्या:

विकल्प 1: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) परिमित है, तो इसका घात समुच्चय भी परिमित होगा, गणनीय अनंत नहीं।

विकल्प 2: यह असत्य विकल्प है क्योंकि यदि \(S\) कोई गणनीय अनंत समुच्चय है तो इसका घात समुच्चय अगणनीय होना चाहिए।

विकल्प 3: यह सत्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि \(S\) अगणनीय होता, तो इसका घात समुच्चय भी अगणनीय होता है।

विकल्प 4: यह सत्य है, क्योंकि कोई भी गणनीय अनंत समुच्चय नहीं है जिसका घात समुच्चय गणनीय अनंत हो, इसलिए C रिक्त है।

सही विकल्प 4) है।