परवलय x2 - y= 3 की स्पर्शरेखा निम्न बिंदुओं पर सीधी रेखा 2x + y + 8 = 0 के समानांतर हैं निम्नलिखित बिंदुओं पर

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UP TGT Mathematics 2016 Official Paper
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  1. (2, 1) या (1, 2)
  2. (2, -1) या (-2, 1)
  3. (-1, -2)
  4. (-2, -1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : (2, -1) या (-2, 1)
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UP TGT Hindi FT 1
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अवधारणा:

समानांतर रेखाओं की ढलान बराबर होती है

स्पर्शरेखा के ढलान को dy/dx के रूप में परिभाषित किया गया है

गणना:

दिया गया परवलय है x2 - y= 3

हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा के ढलान को dy/dx के रूप में परिभाषित किया गया है

x के सापेक्ष उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर

2x - 2y.dy/dx = 0

⇒ dy/dx = 2x/2y = x/y

∴ ढलान = m1 = dy/dx = x/y

अब,

सीधी रेखा 2x + y + 8 = 0 का समीकरण

x के सापेक्ष उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर

2 + dy/dx = 0

⇒ - 2 = dy/dx

∴ ढलान = m2 = dy/dx = - 2 

हम जानते हैं कि समानांतर रेखाओं की ढलान बराबर होती है

⇒ m1 = m2

⇒ x/y = - 2

⇒ x = - 2y       ---- (i)

अब इस मान को परवलय के समीकरण में रखने पर 

x2 - y= 3

⇒ (- 2y)2 - y2 = 3

⇒ 4y2 - y2 = 3

⇒ 3y2 = 3

⇒ y = ± 1

अब, y पर = +1

x = - 2    (समीकरण (i) का उपयोग करते हुए)

और, y पर = - 1

x = 2      (समीकरण (i) का उपयोग करते हुए)

∴ बिंदु होंगे: (2, -1) or (-2, 1)

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