பூமியின் மேற்பரப்பில் இருந்து வெளியேறும் திசை வேகத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு திசை வேகத்துடன் ஒரு பொருள் அடையும் அதிகபட்ச உயரம் என்ன? (பூமியின் ஆரம்=R)

கருத்து :

• விடுபடு திசைவேகம் : பூமியின் ஈர்ப்புப் புலத்திலிருந்து தப்பிக்கத் தேவைப்படும் குறைந்தபட்ச வேகம் விடுபடு திசை வேகம் எனப்படும். இது V e ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

பூமியில் விடுபடு திசைவேகம் பின்வருமாறு வழங்கப்படுகிறது:

\({V_e} = \sqrt {\frac{{2\;G\;M}}{R}} = 11.2\;km/s\)

பூமியின் மேற்பரப்பிற்கு மேலே ஒரு புள்ளியில் ஈர்ப்பு நிலைஆற்றல் வழங்கப்படுகிறது;

ஈர்ப்பு நிலை ஆற்றல் \(\;\left( {PE} \right) = \; - \frac{{G\;M\;m}}{{R + h}}\)

G என்பது உலகளாவிய ஈர்ப்பு மாறிலி, M என்பது பூமியின் நிறை மற்றும் R என்பது பூமியின் ஆரம், m என்பது பொருளின் நிறை மற்றும் h என்பது பூமியின் மேற்பரப்பிற்கு மேலே உள்ள உயரம்.

கணக்கீடு :

எங்களுக்கு தெரியும்,

விடுபடு திசைவேகம் = v _e = \(\sqrt{\frac{2GM}{R}}\) ........(1)

G என்பது உலகளாவிய ஈர்ப்பு மாறிலி மற்றும் M என்பது பூமியின் நிறை.

பொருளின் வேகம் = v = v _e /3 = \(\sqrt{\frac{2GM}{9R}}\) .....(2)

பொருளின் ஆரம்ப இயக்க ஆற்றல் = KE ₁ = \(\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\frac{2GM}{9R}\) .... (3 )

பொருளின் ஆரம்ப நிலைஆற்றல் = PE ₁ = \(-\frac{GMm}{R} \) ....... (4)

இங்கே m என்பது பொருளின் நிறை.

h என்பது பொருள் அடையும் அதிகபட்ச உயரமாக இருக்கட்டும்

பொருள் அதிகபட்ச உயரத்தை அடையும் போது, அதன் திசைவேகம் பூஜ்ஜியமாக மாறும் அதனால்தான் அதன் இறுதி இயக்க ஆற்றல் = KE ₂ = 0. ....... (5)

அதிகபட்ச உயரத்தில்,

பொருளின் நிலைஆற்றல் (PE ₂ ) = \(-\frac{GMm}{R+h}\) ....... (6)

ஆற்றல் பாதுகாப்பு சட்டத்தின் படி, அமைப்பின் மொத்த ஆற்றல் பாதுகாக்கப்பட வேண்டும், அதாவது

KE ₁ + PE ₁ = KE ₂ + PE _{2 ............} (3,4,5 மற்றும் 6 இலிருந்து),

\(\frac{1}{2}m\frac{2GM}{9R} -\frac{GMm}{R}= 0-\frac{GMm}{R+h}\\ or, \; \frac{1}{9R}-\frac{1}{R}=-\frac{1}{R+h}\\ or, \; -\frac{8}{9R}=-\frac{1}{R+h}\\ or, \; 8R+8h = 9R\\ or, \; R=8h\\ or, \; h = \frac{R}{8}\)

இதனால், பொருள் அடைந்த அதிகபட்ச உயரம் R/8 ஆக இருக்கும்..