যদি গুণোত্তর প্রগতিতে a₁ , a₂ , a₃ , ..., a₉ থাকে, তাহলে\(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 & \rm \ln a_2 & \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 & \rm \ln a_5 & \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7 & \rm \ln a_8 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\) নির্ধারকের মান কত হবে? 

ধারণা:

গুণোত্তর প্রগতি​:

• একটি গুণোত্তর প্রগতির যেকোনো দুটি পরপর পদের মধ্যে অনুপাত একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক, যাকে প্রগতির সাধারণ অনুপাত (r) বলা হয়।

লগারিদম:

• log a - log b = \(\rm \log {a\over b}\)

নির্ধারক:

• সারি/কলামগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ নির্ধারকের মানকে প্রভাবিত করে না।
• যদি একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি/কলাম বিনিময় করা হয়, তাহলে নির্ধারকের মান -1 দ্বারা গুণিত হয়।
• যদি একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের একটি সারি/কলামকে একটি স্কেলার k দ্বারা গুণ করা হয়, তাহলে নির্ধারকের মানটিও k দ্বারা গুণিত হয়।

গণনা:

ধরি, প্রদত্ত গুণোত্তর প্রগতির সাধারণ অনুপাত r

ধরি, D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 & \rm \ln a_2 & \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 & \rm \ln a_5 & \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7 & \rm \ln a_8 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\) 

C1 → C1 - C2 এবং C2 → C2 - C3 ব্যবহার করে পাই:

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln a_1 -\ln a_2& \rm \ln a_2 -\ln a_3& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln a_4 -\ln a_5& \rm \ln a_5 -\ln a_6& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln a_7-\ln a_8 & \rm \ln a_8-\ln a_9 & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln {a_1 \over a_2}& \rm \ln {a_2 \over a_3}& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln {a_4 \over a_5}& \rm \ln {a_5 \over a_6}& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln {a_7 \over a_8} & \rm \ln {a_8 \over a_9} & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

⇒ D = \(\begin{vmatrix} \rm \ln r& \rm \ln r& \rm \ln a_3 \\ \rm \ln r& \rm \ln r& \rm \ln a_6 \\ \rm \ln r & \rm \ln r & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

C₁ → C₁ - C₂ ব্যবহার করে পাই:

⇒ D = \(\begin{vmatrix} 0& \rm \ln r& \rm \ln a_3 \\0& \rm \ln r& \rm \ln a_6 \\ 0 & \rm \ln r & \rm \ln a_9 \end{vmatrix}\)

C₁ বরাবর প্রসারিত করে পাই:

⇒ D = 0