उस अतिपरवलय का समीकरण क्या है जिसके फोकस (5,0) और (-3,0) हैं और उत्केंद्रता = 2 है?

संकल्पना:

अतिपरवलय का मानक समीकरण:

\(\rm {(x-h)^2\over a^2}-{(y-k)^2\over b^2} = 1\)

जहाँ 2a और 2b क्रमशः अनुप्रस्थ अक्ष और संयुग्म अक्ष की लम्बाई है और केंद्र (0, 0) है। 

सूचना: केंद्र 2 फोकस का मध्य बिंदु है। 

उत्केंद्रता = \(\rm \sqrt{a^2+b^2}\over a\)

नाभिलंब की लम्बाई = \(\rm 2b^2 \over a\)

केंद्र से फोकस की दूरी = \(\rm \sqrt{a^2+b^2}\)

गणना:

दिया गया फोकस (5,0) और (-3,0) हैं। 

केंद्र = \(\rm \left({5+(-3)\over2},{0+0\over2}\right)\) = (1, 0)

अब केंद्र से फोकस की दूरी = \(\rm \sqrt{a^2+b^2}\)

⇒ \(\rm \sqrt{(5-1)^2+(0-0)^2} = \rm \sqrt{a^2+b^2}\)

⇒ a² + b² = 16               ...(i)

उत्केंद्रता = \(\rm \sqrt{a^2+b^2}\over a\)

⇒ 2 = \(\rm \sqrt{16}\over a\) 

⇒ a = 2

(i) में इसे रखने पर

⇒ 4 + b² = 16

⇒ b² = 12

a² = 4

अतिपरवलय का समीकरण

\(\rm {(x-h)^2\over a^2}-{(y-k)^2\over b^2} = 1\)

⇒ \(\rm {(x-1)^2\over 4}-{(y-0)^2\over 12} = 1\)

⇒ \(\boldsymbol{\rm {(x-1)^2\over 4}-{y^2\over 12} = 1}\)