बिंदु P के समुच्चय का समीकरण इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि बिंदुओं A(3, 4, -5) और B(-2, 1, 4) से उसकी दूरी बराबर हो।

अवधारणा :

• बिंदुओं A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी गई है: \(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

गणना :

मान लीजिए P(x, y, z) वह बिंदु है जो बिंदुओं A(3, 4, -5) और B(-2, 1, 4) से समदूरस्थ है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, बिंदुओं A(x1, y1, z1) और B(x2, y2, z2) के बीच की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है: \(d = \sqrt {(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

पहले बिंदु P और A के बीच की दूरी ज्ञात करें

⇒ \(PA = \sqrt {(3- x)^2 + (4 - y)^2 + (-5 - z)^2}\)

इसी तरह बिंदु P और B के बीच की दूरी ज्ञात करें

⇒ \(PB = \sqrt {(-2- x)^2 + (1 - y)^2 + (4 - z)^2}\)

∵ PA = PB

⇒ \(\sqrt {(3- x)^2 + (4 - y)^2 + (-5 - z)^2} = \sqrt {(-2- x)^2 + (1 - y)^2 + (4 - z)^2}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,

⇒ (3 - x)2 + (4 - y)2 + (-5 - z)2 = (-2 - x)2 + (1 - y)2 + (4 - z)2

⇒ x2 + y2 + z2 - 6x - 8y + 10z + 50 = x2 + y2 + z2 + 4x - 2y - 8z + 21

⇒ 10x + 6y - 18z - 29 = 0

अतः, बिंदुओं का समुच्चय जो बिंदु A(3, 4, -5) और B(-2, 1, 4) से समदूरस्थ है इसके द्वारा दिया गया है: 10x + 6y - 18z - 29 = 0

अत: सही विकल्प 2 है।