अतिपरवलय 24x2 - 25y2 = 600 के नाभिलंब की लंबाई का पता लगाएं।

अवधारणा :

एक आयताकार अतिपरवलय \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
• इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
• अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
• संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
• इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: \(\frac{2b^2}{a}\)

गणना :

दिया हुआ: अतिपरवलय का समीकरण 24x2 - 25y2 = 600

अतिपरवलय के दिए गए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:\(\frac{{{x^2}}}{{{25}}} - \frac{{{y^2}}}{{{24}}} = 1\)

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का समीकरण \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) द्वारा दिया जाता है

इसलिए, अतिपरवलय के दिए गए समीकरण की तुलना \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) से करके हम प्राप्त करते हैं,

⇒ a2 = 25 और b2 = 24

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा दिया जाता है

अतः b2 = 24 और a = 5 को \(\frac{2b^2}{a}\) में प्रतिस्थापित करके हम प्राप्त करें

⇒ \(\frac{2 \cdot 24}{5} = \frac{48}{5} units\)

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।