अवकल समीकरण x\(\rm \frac {dy}{dx}\) + y = 4x³ + x को हल कीजिए। 

संकल्पना:

प्रथम कोटि वाले रैखिक अवकल समीकरण में;

\(\rm {dy\over dx}+Py=Q\),

जहाँ P और Q, x के फलन हैं। 

समाकलन कारक (IF) = e∫ P dx

y × (IF) = ∫ Q(IF) dx

गणना:

x\(\rm \frac {dy}{dx}\) + y = 4x3 + x

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}+{y\over x}=4x^2+1\)

IF = e∫ \(\rm 1\over x\) dx

⇒ IF = eln x

⇒ IF = x                 

(∵ e^{ln x} = x)

अब, y × (IF) = ∫ Q (IF) dx

⇒ y × x = ∫ (4x² + 1) × x dx

⇒ yx = ∫ 4x³ + x  dx

समाकलन करने पर,

⇒ yx = x⁴ + \(\rm x^2\over 2\)+ c (जहाँ c समाकलन स्थिरांक है।)

⇒ y = \(\boldsymbol{\rm x^3 + {x\over2}+{c\over x}}\)