Solving Linear Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solving Linear Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

यदि \( \mathrm{e}^{\int \tan x \mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{\operatorname{ln}(\sec \mathrm{x})}=\sec \mathrm{x} \)

\( \therefore \mathrm{y} \cdot \sec \mathrm{x}=\int\left\{\frac{2+\sec \mathrm{x}}{(1+2 \sec \mathrm{x})^{2}}\right\} \sec \mathrm{xdx} \\ \)

\(=\int \frac{2 \cos \mathrm{x}+1}{(\cos \mathrm{x}+2)^{2}} \mathrm{dx} \) माना \( \cos \mathrm{x}=\frac{1-\mathrm{t}^{2}}{1+\mathrm{t}^{2}} \)

\(=\int \frac{2\left(\frac{1-\mathrm{t}^{2}}{1+\mathrm{t}^{2}}\right)+1}{\left(\frac{1-\mathrm{t}^{2}}{1+\mathrm{t}^{2}}+2\right)^{2}} 2 \mathrm{dt} \)

\(=\int \frac{2-2 \mathrm{t}^{2}+1+\mathrm{t}^{2}}{\left(1-\mathrm{t}^{2}+2+2 \mathrm{t}^{2}\right)^{2}} \times 2 \mathrm{dt} \)

\(=2 \int \frac{3-\mathrm{t}^{2}}{\left(\mathrm{t}^{2}+3\right)^{2}} \mathrm{dt}\)

माना \(\mathrm{t}+\frac{3}{\mathrm{t}}=\mathrm{u}\)

\( \left(1-\frac{3}{t^{2}}\right) d t=d u \)

\(=-2 \int \frac{d u}{u^{2}} \)

\(y \cdot(\sec x)=\frac{2}{u}+c \)

\(y \cdot \sec x=\frac{2}{t+\frac{3}{t}}+c\) .........(I)

पर \(x=\frac{\pi}{3}, t=\tan \frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}} \)

\(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{10}=\frac{2}{\frac{1}{\sqrt{3}}+3 \sqrt{3}}+c \)

\(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{10}=\frac{2 \sqrt{3}}{10}+c \Rightarrow C=0 \)

पर \(x=\frac{\pi}{4}, \mathrm{t}=\tan \frac{\mathrm{x}}{2}=\sqrt{2}-1 \)

\(\therefore \mathrm{y} \cdot \sqrt{2}=\frac{2}{\sqrt{2}-1+\frac{3}{\sqrt{2}-1}} \)

\(\text { y. } \sqrt{2}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{6-2 \sqrt{2}} \)

\(y=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2(3-\sqrt{2})}=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2 \sqrt{2}-1}{7}=\frac{4-\sqrt{2}}{14}\)

व्याख्या:

A. \(\frac{x}{\log_e x} \)

यह फलन x > 0 के लिए परिभाषित है, क्योंकि लघुगणक फलन केवल x के धनात्मक मानों के लिए परिभाषित है।

वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जिसमें फलन वर्धमान है, x के सापेक्ष \(\frac{x}{\log_e x} \) का अवकलज ज्ञात कीजिए।

हल करने के बाद, यह पाया जा सकता है कि फलन x > e के लिए वर्धमान है।

इसलिए, सही अंतराल (IV) है।

B. \(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}, \, x \neq 0 \)

यह फलन \(x \neq 0. \) के लिए परिभाषित है।

अवकलज ज्ञात करके और उसे शून्य के बराबर रखकर,

यह दिखाया जा सकता है कि फलन x > 2 और x < -2 के लिए वर्धमान है।

इसलिए, सही अंतराल (I) है।

C. \( x^x, \, x > 0 \)

यह फलन x > 0 के लिए वर्धमान है।

इसलिए, सही अंतराल (III) है।

D. \( \sin x - \cos x \)

\( \sin x - \cos x \) का अवकलज \( \cos x + \sin x. \) है।

इस अवकलज को शून्य से अधिक रखने पर अंतराल \(\left( -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right) \) प्राप्त होता है, इसलिए सही अंतराल (II) है।

अंतिम उत्तर:

सही मिलान है:

(A) → (IV)
(B) → (I)
(C) → (III)
(D) → (II)

सही विकल्प (3) है।

संप्रत्यय:

समाकलन गुणक :

• समाकलन गुणक का उपयोग रैखिक प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
• रूप: dy/dx + P(x)y = Q(x) के रैखिक अवकल समीकरण के लिए, समाकलन गुणक इस प्रकार दिया गया है:
• समाकलन गुणक = e^∫P(x)dx

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण है:

y log_e(y) dx/dy + x = 2 log_e(y)

समीकरण को पुनः लिखित करने पर:

y log_e(y) dx/dy = 2 log_e(y) - x

दोनों पक्षों को y log_e(y) से विभाजित करने पर:

dx/dy = 2/y - x/(y log_e(y))

यह रैखिक प्रथम-कोटि अवकल समीकरण के मानक रूप में है:

dx/dy + P(y) x = Q(y)

P(y) = 1/(y log_e(y)) और Q(y) = 2/y की पहचान करते हुए, हम समाकलन गुणक ज्ञात करते हैं:

μ(y) = e^∫P(y)dy = e^{∫1/(y log_e(y))dy}

1/(y log_e(y)) का समाकल log_e(log_e(y)) है, इसलिए:

μ(y) = log_e(y)

इसलिए, समाकलन गुणक: log_e(y) है। 

संप्रत्यय:

समाकलन और समाकलन का अचर:

• इस समस्या में दिए गए समाकल के लिए समाकलन का अचर ज्ञात करना शामिल है।
• समाकल निम्न रूप का है:
  • \(f(x) = ∫ (e^x) / √(4 - e^{(2x)}) dx \)
• इसे हल करने के लिए, हम समाकल को सरल बनाने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
• प्रयुक्त प्रतिस्थापन है:
  • \(u = e^x \), और इसलिए \(du = e^x dx \)
• समाकल तब एक मानक रूप में कम हो जाता है:
  • ∫ 1 / √(4 - u²) du = \(sin^{-1}(u / 2) + C \)
• हम अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए \(u = e^x \) को वापस प्रतिस्थापित करते हैं:
  • \(f(x) = sin^{-1} (e^x / 2) + C \)
• स्थिरांक C ज्ञात करने के लिए, हम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं कि f(0) = π/2 है।

गणना:

दिया गया है,

\(f(x) = ∫ (e^x) / √(4 - e^{(2x)} ) dx \)

\( u = e^x \) प्रतिस्थापित करें, ताकि \(du = e^x dx \) हो। 

समाकल बन जाता है \( f(x) = sin^{-1} (e^x / 2) + C. \)

प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करें:

f(0) = π/2

समीकरण में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर:

\(f(0) = sin^{-1} (e^0 / 2) + C = sin^{-1} (1/2) + C = π/6 + C \)

π/2 के बराबर रखने पर:

π/6 + C = π/2

C के लिए हल करें:

C = π/2 - π/6 = 3π/6 - π/6 = 2π/6 = π/3

इसलिए, समाकलन अचर: C = π/3 है। 

cos x (ln (cos x))² dy + (sin x - 3y(sin x) In (cos x)) dx = 0

\(\rm \cos x(\ln (\cos x))^{2} \frac{d y}{d x}-3 \sin x . \ln (\cos x) y=-\sin x \)

\(\rm \frac{d y}{d x}-\frac{3 \tan x}{\ln (\cos x)} y=\frac{-\tan x}{(\ln (\cos x))^{2}} \)

\(\rm \frac{d y}{d x}+\frac{3 \tan x}{\ln (\sec x)} y=\frac{-\tan x}{(\ln (\sec x))^{2}}\)

\(\text { I.F. }=\mathrm{e}^{\int \frac{3 \tan x}{\ln (\sec x)} \mathrm{dx}}=(\ln (\sec \mathrm{x}))^{3}\)

\(\mathrm{y} \times(\ln (\sec \mathrm{x}))^{3}=-\int \frac{\tan \mathrm{x}}{(\ln (\sec \mathrm{x}))^{2}}(\ln (\sec \mathrm{x}))^{3} \mathrm{dx}+\mathrm{C} \)

\(\mathrm{y} \times(\ln (\sec \mathrm{x}))^{3}=-\frac{1}{2}(\ln (\sec \mathrm{x}))^{2}+\mathrm{C} \)

दिया गया है: \( \mathrm{x}=\frac{\pi}{4}, \mathrm{y}=-\frac{1}{\ln 2} \)

\(\frac{-1}{\ln 2} \times(\ln \sqrt{2})^{3}=-\frac{1}{2} \times(\ln \sqrt{2})^{2}+\mathrm{C}\)

\(\rm \Rightarrow \frac{-1}{8 \ln 2} \times(\ln 2)^{3}=\frac{-1}{2} \times \frac{1}{4}(\ln 2)^{2}+C \)

\(\rm -\frac{1}{8}(\ln 2)^{2}=\frac{-1}{8}(\ln 2)^{2}+C \)

⇒ C=0

\(\rm \therefore y(\ln (\sec x))^{3}=\frac{-1}{2}(\ln (\sec x))^{2}+0 \)

\(\rm y=\frac{-1}{2 \ln (\sec x)} \)

\(\rm y=\frac{1}{2 \ln (\cos x)} \)

\(\rm \therefore y\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2 \ln \left(\cos \frac{\pi}{6}\right)}\)

\(=\frac{1}{2 \ln \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \)

\(=\frac{1}{2\left(\frac{1}{2} \ln 3-\ln 2\right)} \)

\(=\frac{1}{\ln 3-\ln 4}\)

विकल्प (4)

दिया गया:

x = 1

x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx

गणना:

x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 0

⇒(1/2)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] = 0

⇒x = y , y = z और z = x

लेकिन x = y = z = 1

इसलिए, \(\rm \frac{10x^4+5y^4+7z^4}{13x^2y^2+6y^2z^2+3z^2x^2}\)

= {10(1)4 + 5(1)4 + 7(1)4}/{13(1)2(1)2+ 6(1)2(1)2 + 3(1)2(1)2}

= 22/22

= 1

इसलिए, अभीष्ट मान 1 है।

दिया गया:

x + \(\frac{1}{2x}\) = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

सरल गणनाओं का प्रयोग किया जाता है

गणना:

⇒ x + \(\frac{1}{2x}\) = 3

दोनों पक्षों में 2 का गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ 2x + \(\frac{1}{x}\) = 6  .................(1)

अब, दोनों पक्षों को घन करने पर,

⇒ \((2x + \frac{1}{x})^3 = 6^3\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(4x^2)(\frac{1}{x})+3(2x)(\frac{1}{x^2})=216\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3} + 12x+\frac{6}{x}=216\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216 - 6(2x+\frac{1}{x})\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 6(6)\)  ..............(1) से 

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 216- 36\)

⇒ \(8x^3 + \frac{1}{x^3}= 180\)

⇒ इसलिए, उपरोक्त समीकरण का मान 180 है।

दिया गया:

9 अंकों की संख्या = 83P93678Q

भाजक = 72

प्रयुक्त अवधारणा:

8 की विभाज्यता = अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होने चाहिए।

9 की विभाज्यता = अंकों का योग 9 से विभाज्य है।

गणना:

भाजक 72 के रूप में, 8 और 9 से विभाज्य है, इसलिए विभाज्यता की जाँच की जाएगी।

8 से विभाज्य के लिए,

78Q 8 से विभाज्य होना चाहिए, इसलिए, Q को 4 होना चाहिए क्योंकि 784 8 से विभाज्य है।

9 से विभाज्य के लिए,

⇒ 8 + 3 + P + 9 + 3 + 6 + 7 + 8 + 4 = 48 + P

9 से विभाज्य होने के लिए, जोड़ी जाने वाली निकटतम संख्या 6 है जो 54 देती है।

अब, \(\sqrt{P^2+Q^2+12}=\sqrt{6^2+4^2+12}\)

⇒ \(\sqrt{36+16+12}=\sqrt{64}=8\)

इसलिए, आवश्यक मान 8 है।

अवधारणा:

एक अवकल समीकरण \(\rm\frac{dx}{dy}+Px= Q\) के लिए समाकलन कारक (IF) निम्न है जहां P और Q, y के दिए गए निरंतर फलन हैं।

IF = \(\rm e^{\int Pdy}\)

गणना:

दिया गया अवकल समीकरण

\(\rm \frac{dy}{dx} + xy = x\)

अब, यह अवकल समीकरण निम्न रूप में है

\(\rm \frac{dy}{dx} + y P(x) = Q(x)\)

जहाँ, P(x) = x और Q(x) = x

समाकलन कारक (I.F.) = \(\rm e^{\int P(x)} dx\)

I.F. = \(\rm e^{\int x} dx\) = \(\rm e^{\frac{x^{2}}{2}}\)

संकल्पना:

प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण:
एक अवकल समीकरण का रूप \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) + P × y = Q है, जहाँ P और Q स्थिरांक या केवल x के फलन हैं, इसे प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण के रूप में जाना जाता है। 

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के चरण:

• इसे मानक रूप \(\rm \dfrac{dy}{dx}\) + P × y = Q में परिवर्तित कीजिए, जहाँ P और Q स्थिरांक या केवल x के फलन हैं। 
• सूत्र का प्रयोग करके समाकलन कारक (F) ज्ञात कीजिए: F = \(\rm e^{\int P\ dx}\).
• सूत्र का प्रयोग करके हल लिखिए: \(\rm y\times F=\displaystyle \int (Q\times F)\ dx+C\) जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है। 

गणना:

\(\rm x \dfrac{dy}{dx}-y=3\)

\(\rm \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}+\left(\dfrac{-1}{x}\right)y=\dfrac{3}{x}\)

⇒ P = \(\rm \dfrac{-1}{x}\) और Q = \(\rm \dfrac{3}{x}\).

समाकलन कारक F = \(\rm e^{\int P\ dx}=e^{\int \tfrac{-1}{x}\ dx}=e^{-\ln x}=\dfrac{1}{x}\).

दिए गए अवकल समीकरण का हल निम्न है:

\(\rm y\times \dfrac{1}{x}=\displaystyle \int \left(\dfrac{3}{x}\times \dfrac{1}{x}\right)\ dx+C\)

\(\rm \Rightarrow \dfrac{y}{x}=3\left(\dfrac{-1}{x}\right)+C\)

⇒ y = Cx - 3, जो एक सीधी रेखा का समीकरण है। 

संकल्पना:

रैखिक अवकल समीकरण का हल:

यदि अवकल समीकरण में\(\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}} + {\rm{Px}} = {\rm{Q}}\) का रूप है, तो जहाँ P और Q, y का फलन हैं। 

हल निम्न रूप में दिया गया है,\({\rm{x}} \times {\rm{I}}.{\rm{F}}.{\rm{\;}} = \smallint {\rm{I}}.{\rm{F}}.{\rm{\;}} \times {\rm{Qdy}} + {\rm{c}}\)

जहाँ I.F. समाकलन कारक है जो निम्न रूप में दिया गया है,

\({\rm{I}}.{\rm{F}}. = {{\rm{e}}^{\smallint {\rm{Pdy}}}}\)

गणना:

दिया गया है: ydx – (x + 2y²) dy = 0

\({\rm{y}}\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}} = {\rm{x}} + 2{{\rm{y}}^2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}} = \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}} + 2{\rm{y}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}} - \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}} = 2{\rm{y}}\)

अवकल समीकरण निम्न रूप में है, \(\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dy}}}} + {\rm{Px}} = {\rm{Q}}\)

समाकलन कारक, \({\rm{I}}.{\rm{F}}. = {{\rm{e}}^{\smallint {\rm{Pdy}}}}\)

\({\rm{I}}.{\rm{F}}. = {{\rm{e}}^{\smallint - \frac{1}{{\rm{y}}}{\rm{dy}}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{I}}.{\rm{F}}. = {{\rm{e}}^{ - \ln {\rm{y}}}}\)

\(\Rightarrow {\rm{I}}.{\rm{F}}. = \frac{1}{{\rm{y}}}\)

अवकल समीकरण निम्न रूप में दिया गया है,

\({\rm{x}} \times \frac{1}{{\rm{y}}} = \smallint \frac{1}{{\rm{y}}} \times \left( {2{\rm{y}}} \right){\rm{dy}} + {\rm{c}}\)

\(\Rightarrow \frac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}} = 2{\rm{y}} + {\rm{c}}\)

⇒ x = 2y² + cy

संकल्पना:

रैखिक अवकलन समीकरण \(\rm\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x) \) का हल निम्न द्वारा दिया जाता है,

 y × I.F = \(\int{Q(x)(I.F) }dx+ C \)

जहाँ P और Q, 'x' के फलन हैं और समाकलन गुणांक (I.F) = \(e^{\int{P(x)}dx}\) है। 

गणना:

दिया गया है, \(\rm\frac{dy}{dx} + y = \rm\frac{1+y}{x}\)

⇒  \(\rm\frac{dy}{dx}\) + y - \(\frac{y}{x}\) = \(\frac{1}{x}\)

⇒  \(\rm\frac{dy}{dx}\) + \((1-\frac{1}{x})\)y = \(\frac{1}{x}\)

इस रूप का एक अवकलन समीकरण है,

\(\rm\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)\)

यहाँ, P(x) = 1 - \(\frac{1}{x}\)

समाकलन गुणांक (I.F) = \(e^{\int{P(x)}dx}\)

∴ I.F = \(e^{\int(1-\frac{1}{x})dx}\) = \(e^{x - \log x}\)

⇒ I.F = \(\frac{e^x}{e^{\log x}}\) = \(\frac{e^x}{x}\)

समाकलन गुणांक \(\frac{e^x}{x}\) है। 

सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

पहले क्रम में रैखिक अवकल समीकरण;

\(\rm {dy\over dx}+Py=Q\) , जहां P और Q, x के फलन हैं

समाकल कारक (IF) = e∫ P dx

y × (IF) = ∫ Q(IF) dx

गणना:

\(\rm {dy\over dx}+ \frac{y}{x} = 3\sin x\)

IF = e∫  \(\frac{1}{x}\)dx

⇒ IF = eln x

⇒ IF = x

संकल्पना:

 \(\frac{dy}{dx} + Py = Q\) रूप का समीकरण निम्न चरणों द्वारा हल होगा 

1. ज्ञात करें I.F = \(e^{∫ Pdx}\)
2. हल होगा y I.F = ∫ Q I.F dx + C

प्रयुक्त सूत्र:

1. sin θ/coa θ = tan θ 

2.1/cos θ = sec θ 

3. e^{ln x} = x

4. ∫ sec² x = tan x

गणना:

cos x dy = y (sin x - y) dx

dy = y×\(\frac{1}{cos x}\)(sin x - y) dx

⇒ dy = (y \(\frac{sin\ x}{cos\ x}\) - y2\(\frac{1}{cos x}\)) dx

⇒ \(dy\over{dx}\) = y tan x - y² sec x 

⇒ \(\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}tanx=-secx\)

अब, माना y = \(1\over{t}\)

इसलिए \(\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}=-\frac{dt}{dx}\)

इन मानों को रखने पर हमें प्राप्त होता है

\(-\frac{dt}{dx}-t \ tanx=-secx\)

\(\frac{dt}{dx}+t \ tanx=secx\)

अब, 

I.F = \(e^{∫ tan\ x\ dx}=e^{log\ sec\ x}= sec\ x\)

समीकरण का हल होगा 

⇒ t (I.F) =  ∫ (I.F) sec x dx + c

⇒ t (sec x) =  ∫ (I.F) sec x dx + c

⇒ t sec x = ∫ sec² x + c

⇒ sec x = (tan x + c)y

∴ समीकरण का हल sec x =  (tan x + c)y है।

संकल्पना:

प्रथम कोटि वाले रैखिक अवकल समीकरण में;

\(\rm {dy\over dx}+Py=Q\),

जहाँ P और Q, x के फलन हैं। 

समाकलन कारक (IF) = e∫ P dx

y × (IF) = ∫ Q(IF) dx

गणना:

x\(\rm \frac {dy}{dx}\) + y = 4x3 + x

⇒ \(\rm \frac{dy}{dx}+{y\over x}=4x^2+1\)

IF = e∫ \(\rm 1\over x\) dx

⇒ IF = eln x

⇒ IF = x                 

(∵ e^{ln x} = x)

अब, y × (IF) = ∫ Q (IF) dx

⇒ y × x = ∫ (4x² + 1) × x dx

⇒ yx = ∫ 4x³ + x  dx

समाकलन करने पर,

⇒ yx = x⁴ + \(\rm x^2\over 2\)+ c (जहाँ c समाकलन स्थिरांक है।)

⇒ y = \(\boldsymbol{\rm x^3 + {x\over2}+{c\over x}}\)