सदिश \(\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}\) है:

दिया गया है:

सदिश \(\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}\) 

संकल्पना:

शून्य अपसरण वाले सदिश क्षेत्र को परिनालिका कहा जाता है।

हल:

\(a\)माना, \( \overrightarrow {r} = x \hat i+y \hat j+z \hat k\)

\( |\overrightarrow{r}|= |\sqrt {x^2+y^2+z^2}|\)

\( \frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3} = \frac {x \hat i+y \hat j+z \hat k}{|\sqrt {x^2+y^2+z^2}|^3}\)

अब, \(\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}\) का x घटक \( \frac {x}{|\sqrt {x^2+y^2+z^2}|^3}\) है।

हमें \( \frac {\delta}{\delta x}\) ज्ञात करने की आवश्यकता है। 

\( \frac{\delta}{\delta x}[ \frac {x}{|\sqrt {x^2+y^2+z^2}|^3}]\)

\( =1.{({x^2+y^2+z^2})^{\frac{-3}{2}}}+x(\frac{-3}{2}){( {x^2+y^2+z^2})^{\frac{-5}{2}}}.2x\)

\( =r^{-3}(1-3x^2r^{-2})\)

y और z में पद समान हैं, जैसे कि-

\( \frac{\delta}{\delta y}[ \frac {y}{|\sqrt {x^2+y^2+z^2}|^3}]=r^{-3}(1-3y^2r^{-2})\)

\( \frac{\delta}{\delta z}[ \frac {z}{|\sqrt {x^2+y^2+z^2}|^3}]=r^{-3}(1-3z^2r^{-2})\)

आगे,

\( div[\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}]= (\hat i\frac{\delta}{\delta x}+\hat j\frac{\delta}{\delta y}+\hat k\frac{\delta}{\delta z})\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}\)

\( div[\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}]= r^{-3}[3-(x^2+y^2+z^2)r^{-2}]\)

\( div[\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}]= r^{-3}[3-(r^2)r^{-2}] \\ div[\frac{\overrightarrow{r}}{\left|\overrightarrow{r}\right|^3}]=0\)

अतः विकल्प 1 सही है।