220 + 330 + 440 + 550 + 117 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल क्या है?

संकल्पना:

फर्मेट का प्रमेय:

• यदि p एक अभाज्य है और p, a को विभाजित नहीं करता है, तो a p - 1 ≡ 1(mod p)
• यदि a ≡  b (mod n) और c ≡  d (mod n) तो a + c ≡ b + d (mod n) जहां a, b, c, d कोई पूर्णांक हैं।

गणना:

यहाँ 7 एक अभाज्य है

और gcd(2, 7) = gcd(3, 7) = gcd(4, 7) = gcd(5, 7) = gcd(11, 7) = 1

अत: फर्मेट की प्रमेय का प्रयोग करते हुए,

निम्न पर विचार करें,

27 - 1 ≡ 1(mod 7)

⇒ 26 ≡ 1(mod 7)

⇒ ( 26)3 ≡ 1(mod 7)

⇒ 218 ≡ 1(mod 7)

2² से सर्वत्र गुणा करें, हमें मिलता है

⇒ 218 . 22  ≡ 22 (mod 7)

⇒ 220 ≡ 4(mod 7)       .....(1)

आगे निम्न पर विचार करें,

37 - 1 ≡ 1(mod 7)

⇒ 36 ≡ 1(mod 7)

⇒ ( 36)5 ≡ 1(mod 7)

⇒ 330 ≡ 1(mod 7)       ......(2)

आगे निम्न पर विचार करें,

47 - 1 ≡ 1(mod 7)

⇒46 ≡ 1(mod 7)

⇒ ( 46)6 ≡ 1(mod 7)

⇒ 436 ≡ 1(mod 7)

44 से सर्वत्र गुणा करें, हमें मिलता है

⇒ 436. 44​  ≡ 44 (mod 7)

⇒ 440 ≡ 256 (mod 7) 

⇒ 440 ≡ 4(mod 7)  ......(3)

आगे निम्न पर विचार करें,

57 - 1 ≡ 1(mod 7)

⇒56 ≡ 1(mod 7)

⇒ ( 56)8 ≡ 1(mod 7)

⇒ 548 ≡ 1(mod 7)

5² से सर्वत्र गुणा करें, हमें मिलता है

⇒ 548 . 52 ≡ 52  (mod 7)

⇒ 550 ≡ 25  (mod 7)

⇒ 550 ≡ 4  (mod 7)       ....(4)

अंत में निम्न पर विचार करें,

117 - 1 ≡ 1(mod 7)

⇒116 ≡ 1(mod 7)

सर्वत्र 11 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒116 . 11 ≡ 11 (mod 7)

⇒ 117  ≡ 11(mod 7)

⇒ 117  ≡ 4(mod 7)       ......(5)

अब (1), (2), (3), (4) और (5) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,

220 + 330 + 440 + 550 + 117 ≡ (4 + 1 + 4 + 4 + 4 )(mod 7)  | (6) का उपयोग करके

⇒ 220 + 330 + 440 + 550 + 117 ≡ 17 (mod 7)

⇒ 220 + 330 + 440 + 550 + 117 ≡ 3 (mod 7)

इसलिए सही उत्तर विकल्प 4) है