Partial Differential Equations MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Partial Differential Equations - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

জ্যাকোবিয়ান \(\frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)}\) দ্বারা দেওয়া হয়:

\(J=\begin{vmatrix} {\partial u\over \partial x} & {\partial u\over \partial y} & {\partial u\over \partial z}\\ {\partial v\over \partial x} & {\partial v\over \partial y} & {\partial v\over \partial z}\\ {\partial w\over \partial x} &{\partial w\over \partial y} & {\partial w\over \partial z} \end{vmatrix}\)

গণনা:

দেওয়া আছে, u = xyz, v = xy + yz + zx, w = x + y + z

\(J=\begin{vmatrix} {\partial (xyz)\over \partial x} & {\partial (xyz)\over \partial y} & {\partial (xyz)\over \partial z}\\ {\partial (xy + yz + zx)\over \partial x} & {\partial (xy + yz + zx)\over \partial y} & {\partial (xy + yz + zx)\over \partial z}\\ {\partial (x + y + z)\over \partial x} &{\partial (x + y + z)\over \partial y} & {\partial (x + y + z)\over \partial z} \end{vmatrix}\)

\(J=\begin{vmatrix} yz & xz & xy\\ y+z & x+z & x+y\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\)

J = yz(x+z-x-y) - xz(y+z-x-y) + xy(y+z-x-z)

J = yz(z-y) - xz(z-x) + xy(y-x)

J = \(yz^2-y^2z-xz^2+x^2z+xy^2-x^2y\)

J = (x - y)(y - z)(z - x)

ধারণা:

z = f(x + ay) + ∅(x - ay)..............(i)

উভয় পক্ষকে y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dy}=aF'(x+ay)-a\phi'(x-ay)\)

উভয় পক্ষকে আবার y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {d^2z \over dy^2}=a^2F''(x+ay)+a^2\phi''(x-ay)\)

\( {d^2z \over dy^2}=a^2[F''(x+ay)+\phi''(x-ay)]\) ...............(ii)

সমীকরণ (i) কে x এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dx}=F'(x+ay)+\phi'(x-ay)\)

\( {d^2z \over dx^2}=F''(x+ay)+\phi''(x-ay)\) ............(iii)

সমীকরণ (iii) কে (ii) তে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\)

ধারণা:

f(x, p) = g(y, q) আকারের বিভাজনযোগ্য সমীকরণ

ধরা যাক f(x, p) = g(y, q) = a (ধ্রুবক)

p এবং q-এর জন্য f(x, p) = a এবং g(y, q) = a সমাধান করে পাই

p = ϕ(x, a) এবং q = ψ(y, a)

আমাদের আছে dz = p dx + q dy

অনুকলন করে আমরা নিম্নলিখিত সমাধান পাই,

z = ∫ ϕ(x, a) dx + ∫ ψ(y, a) dy + b

যেখানে a, b হল নির্বিচার ধ্রুবক।

গণনা:

প্রদত্ত PDE হল yp + xq + pq = 0

এটি এভাবে লেখা যেতে পারে

p (y + q) = - qx;

\( \Rightarrow \frac{p}{x} = - \frac{q}{{y + q}} = a\)

\( \Rightarrow p = ax,\;q = - \frac{{ay}}{{1 + a}}\)

dz = p dx + q dy-তে p এবং q-এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই;

\( \Rightarrow dz = ax\;dx - \frac{{ay}}{{1 + a}}dy\)

উভয় দিকে অনুকলন করে পাই,

\(z = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{a}{{1 + a}}\frac{{{y^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow 2z = a{x^2} - \frac{a}{{1 + a}}{y^2}\)

ধারণা:

f(x, p) = F(y, q) আকারের সমীকরণগুলি f(x, p) = F(y, q) = a (চলকের বিভাজনযোগ্য) অনুমান করে সমাধান করা যেতে পারে।

গণনা:

প্রদত্ত PDE হল √p + √q = 2x

⇒ 2x - √p = √q

এখন এটি f(x, p) = F(y, q) আকারে আছে।

একটি গতানুগতিক সমাধান হিসাবে, f(x, p) = F(y, q) = a ধরে নেওয়া যাক,

⇒ 2x - √p = a ⇒ p = (2x - a)²;

⇒ √q = a ⇒ q = a²;

এখন z হবে

z = ∫ p dx + ∫ q dy

⇒ z = ∫ (2x - a)² dx + ∫ a² dy

⇒ \(z = \frac{1}{6}{\left( {2x - a} \right)^3} + {a^2}y + b\), যেখানে a এবং b হল অনির্দিষ্ট ধ্রুবক।

ধারণা:

জ্যাকোবিয়ান \(\frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)}\) দ্বারা দেওয়া হয়:

\(J=\begin{vmatrix} {\partial u\over \partial x} & {\partial u\over \partial y} & {\partial u\over \partial z}\\ {\partial v\over \partial x} & {\partial v\over \partial y} & {\partial v\over \partial z}\\ {\partial w\over \partial x} &{\partial w\over \partial y} & {\partial w\over \partial z} \end{vmatrix}\)

গণনা:

দেওয়া আছে, u = xyz, v = xy + yz + zx, w = x + y + z

\(J=\begin{vmatrix} {\partial (xyz)\over \partial x} & {\partial (xyz)\over \partial y} & {\partial (xyz)\over \partial z}\\ {\partial (xy + yz + zx)\over \partial x} & {\partial (xy + yz + zx)\over \partial y} & {\partial (xy + yz + zx)\over \partial z}\\ {\partial (x + y + z)\over \partial x} &{\partial (x + y + z)\over \partial y} & {\partial (x + y + z)\over \partial z} \end{vmatrix}\)

\(J=\begin{vmatrix} yz & xz & xy\\ y+z & x+z & x+y\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\)

J = yz(x+z-x-y) - xz(y+z-x-y) + xy(y+z-x-z)

J = yz(z-y) - xz(z-x) + xy(y-x)

J = \(yz^2-y^2z-xz^2+x^2z+xy^2-x^2y\)

J = (x - y)(y - z)(z - x)

ধারণা:

z = f(x + ay) + ∅(x - ay)..............(i)

উভয় পক্ষকে y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dy}=aF'(x+ay)-a\phi'(x-ay)\)

উভয় পক্ষকে আবার y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {d^2z \over dy^2}=a^2F''(x+ay)+a^2\phi''(x-ay)\)

\( {d^2z \over dy^2}=a^2[F''(x+ay)+\phi''(x-ay)]\) ...............(ii)

সমীকরণ (i) কে x এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dx}=F'(x+ay)+\phi'(x-ay)\)

\( {d^2z \over dx^2}=F''(x+ay)+\phi''(x-ay)\) ............(iii)

সমীকরণ (iii) কে (ii) তে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\)

ধারণা:

f(x, p) = F(y, q) আকারের সমীকরণগুলি f(x, p) = F(y, q) = a (চলকের বিভাজনযোগ্য) অনুমান করে সমাধান করা যেতে পারে।

গণনা:

প্রদত্ত PDE হল √p + √q = 2x

⇒ 2x - √p = √q

এখন এটি f(x, p) = F(y, q) আকারে আছে।

একটি গতানুগতিক সমাধান হিসাবে, f(x, p) = F(y, q) = a ধরে নেওয়া যাক,

⇒ 2x - √p = a ⇒ p = (2x - a)²;

⇒ √q = a ⇒ q = a²;

এখন z হবে

z = ∫ p dx + ∫ q dy

⇒ z = ∫ (2x - a)² dx + ∫ a² dy

⇒ \(z = \frac{1}{6}{\left( {2x - a} \right)^3} + {a^2}y + b\), যেখানে a এবং b হল অনির্দিষ্ট ধ্রুবক।

ধারণা:

জ্যাকোবিয়ান \(\frac{\partial(u, v, w)}{\partial(x, y, z)}\) দ্বারা দেওয়া হয়:

\(J=\begin{vmatrix} {\partial u\over \partial x} & {\partial u\over \partial y} & {\partial u\over \partial z}\\ {\partial v\over \partial x} & {\partial v\over \partial y} & {\partial v\over \partial z}\\ {\partial w\over \partial x} &{\partial w\over \partial y} & {\partial w\over \partial z} \end{vmatrix}\)

গণনা:

দেওয়া আছে, u = xyz, v = xy + yz + zx, w = x + y + z

\(J=\begin{vmatrix} {\partial (xyz)\over \partial x} & {\partial (xyz)\over \partial y} & {\partial (xyz)\over \partial z}\\ {\partial (xy + yz + zx)\over \partial x} & {\partial (xy + yz + zx)\over \partial y} & {\partial (xy + yz + zx)\over \partial z}\\ {\partial (x + y + z)\over \partial x} &{\partial (x + y + z)\over \partial y} & {\partial (x + y + z)\over \partial z} \end{vmatrix}\)

\(J=\begin{vmatrix} yz & xz & xy\\ y+z & x+z & x+y\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\)

J = yz(x+z-x-y) - xz(y+z-x-y) + xy(y+z-x-z)

J = yz(z-y) - xz(z-x) + xy(y-x)

J = \(yz^2-y^2z-xz^2+x^2z+xy^2-x^2y\)

J = (x - y)(y - z)(z - x)

ধারণা:

f(x, p) = g(y, q) আকারের বিভাজনযোগ্য সমীকরণ

ধরা যাক f(x, p) = g(y, q) = a (ধ্রুবক)

p এবং q-এর জন্য f(x, p) = a এবং g(y, q) = a সমাধান করে পাই

p = ϕ(x, a) এবং q = ψ(y, a)

আমাদের আছে dz = p dx + q dy

অনুকলন করে আমরা নিম্নলিখিত সমাধান পাই,

z = ∫ ϕ(x, a) dx + ∫ ψ(y, a) dy + b

যেখানে a, b হল নির্বিচার ধ্রুবক।

গণনা:

প্রদত্ত PDE হল yp + xq + pq = 0

এটি এভাবে লেখা যেতে পারে

p (y + q) = - qx;

\( \Rightarrow \frac{p}{x} = - \frac{q}{{y + q}} = a\)

\( \Rightarrow p = ax,\;q = - \frac{{ay}}{{1 + a}}\)

dz = p dx + q dy-তে p এবং q-এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই;

\( \Rightarrow dz = ax\;dx - \frac{{ay}}{{1 + a}}dy\)

উভয় দিকে অনুকলন করে পাই,

\(z = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{a}{{1 + a}}\frac{{{y^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow 2z = a{x^2} - \frac{a}{{1 + a}}{y^2}\)

ধারণা:

z = f(x + ay) + ∅(x - ay)..............(i)

উভয় পক্ষকে y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dy}=aF'(x+ay)-a\phi'(x-ay)\)

উভয় পক্ষকে আবার y এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {d^2z \over dy^2}=a^2F''(x+ay)+a^2\phi''(x-ay)\)

\( {d^2z \over dy^2}=a^2[F''(x+ay)+\phi''(x-ay)]\) ...............(ii)

সমীকরণ (i) কে x এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:

\( {dz \over dx}=F'(x+ay)+\phi'(x-ay)\)

\( {d^2z \over dx^2}=F''(x+ay)+\phi''(x-ay)\) ............(iii)

সমীকরণ (iii) কে (ii) তে প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\)