Balancing MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Balancing - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

हम स्लाइडर-क्रैंक तंत्र की गतिविज्ञान का विश्लेषण करते हैं ताकि कनेक्टिंग रॉड के कोणीय वेग को निर्धारित किया जा सके जब क्रैंक दिए गए कोणीय वेग पर घूमता है।

दिया गया है:

• स्ट्रोक लंबाई = \(2R\) (क्रैंक त्रिज्या = \(R\) का अर्थ है)
• कनेक्टिंग रॉड लंबाई = \(L\)
• अनुपात \(n = \frac{L}{R}\)
• क्रैंक कोणीय वेग = \(\omega\)
• क्रैंक कोण = \(\theta\) (आंतरिक मृत केंद्र से मापा गया)

चरण 1: ज्यामितीय संबंध स्थापित करें

स्लाइडर-क्रैंक तंत्र के लिए, आंतरिक मृत केंद्र से पिस्टन का विस्थापन \(x\) है:

\(x = R(1 - \cos\theta) + L\left(1 - \sqrt{1 - \left(\frac{R}{L}\sin\theta\right)^2}\right)\)

चरण 2: वेग संबंध ज्ञात करने के लिए अवकलन करें

कनेक्टिंग रॉड (\(\omega_{cr}\)) का कोणीय वेग समय के संबंध में कनेक्टिंग रॉड की कोणीय स्थिति को अलग करके पाया जाता है।

कनेक्टिंग रॉड कोण \(\phi\) क्रैंक कोण \(\theta\) से संबंधित है:

\(\sin\phi = \frac{R}{L}\sin\theta = \frac{\sin\theta}{n}\)

चरण 3: कोणीय वेग व्यंजक प्राप्त करें

समय के संबंध में दोनों पक्षों को अलग करना:

\(\cos\phi \cdot \frac{d\phi}{dt} = \frac{\cos\theta}{n} \cdot \omega\)

इस प्रकार:

\(\omega_{cr} = \frac{d\phi}{dt} = \frac{\omega \cos\theta}{n \cos\phi}\)

\(\cos\phi = \sqrt{1 - \sin^2\phi} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sin\theta}{n}\right)^2}\) का उपयोग करते हुए:

\(\omega_{cr} = \frac{\omega \cos\theta}{\sqrt{n^2 - \sin^2\theta}}\)

व्याख्या:

गतिशील रूप से तुल्य निकाय

• यांत्रिक निकायों में, एक गतिशील रूप से तुल्य निकाय द्रव्यमानों के एक सरलीकृत निकाय को संदर्भित करता है जिसमें मूल जटिल पिंड के समान गतिशील व्यवहार (अर्थात, समान जड़ता गुण) होता है। यह अवधारणा यांत्रिक निकायों के विश्लेषण और डिजाइन में विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि यह इंजीनियरों को सिस्टम की गतिशील प्रतिक्रिया को बदले बिना एक जटिल पिंड को एक सरल, समकक्ष निकाय से बदलने की अनुमति देती है।

आवश्यक शर्त:

• दो द्रव्यमानों को इस प्रकार स्थित करने की आवश्यक शर्त जिससे निकाय मूल पिंड के गतिशील रूप से तुल्य हो जाए, वह पिंड के गुरुत्व केंद्र से दो द्रव्यमानों की दूरियों (I₁ और I₂) और पिंड की घूर्णन त्रिज्या (K_G) के बीच संबंध द्वारा दी जाती है। यह स्थिति सुनिश्चित करती है कि सरलीकृत निकाय में मूल पिंड के समान जड़त्व आघूर्ण हो।

किसी अक्ष के परितः किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण (I) उस अक्ष के परितः घूर्णन गति के प्रति पिंड के प्रतिरोध का एक माप है। घूर्णन त्रिज्या (K_G) एक पैरामीटर है जो घूर्णन अक्ष के सापेक्ष पिंड के द्रव्यमान के वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

I = M x K_G²

जहाँ M पिंड का द्रव्यमान है।

व्याख्या:

एकल तल में चार द्रव्यमानों को संतुलित करने के लिए ग्राफीय विधि में, जब सभी द्रव्यमान-त्रिज्या गुणनफलों का सदिश योग शून्य होता है, तो प्रणाली गतिशील संतुलन में होती है। यह सुनिश्चित करता है कि प्रणाली पर कोई असंतुलित अपकेंद्री बल कार्य नहीं कर रहा है।

संतुलन की स्थिति:

• प्रत्येक घूर्णन द्रव्यमान के लिए अपकेंद्री बल दिया गया है:

  \( F = m r \omega^2 \)

• चूँकि कोणीय वेग \( \omega \) सभी द्रव्यमानों के लिए समान है, इसलिए प्रणाली संतुलित है यदि:

  \( \sum m r = 0 \)

• एक पूर्ण रूप से संतुलित प्रणाली में, सभी द्रव्यमान-त्रिज्या गुणनफलों का परिणामी शून्य होना चाहिए।

ग्राफीय निरूपण:

• प्रत्येक द्रव्यमान-त्रिज्या गुणनफल \( m r \) को बल बहुभुज में एक सदिश के रूप में दर्शाया गया है।
• सदिशों को क्रम से शीर्ष से पूँछ तक खींचा जाता है।
• यदि बल बहुभुज बंद हो जाता है, तो परिणामी बल शून्य होता है, जो एक संतुलित प्रणाली को दर्शाता है।
• यदि बहुभुज बंद नहीं होता है, तो सदिश आरेख को पूरा करने के लिए एक अतिरिक्त संतुलन द्रव्यमान की आवश्यकता होती है।

परिणामी गणना:

द्रव्यमान-त्रिज्या गुणनफलों \( m_1 r_1, m_2 r_2, m_3 r_3, \) और \( m_4 r_4 \) का परिणामी दिया गया है:

\( R = \sqrt{( \sum m r \cos \theta )^2 + ( \sum m r \sin \theta )^2 } \)

जहाँ \( \theta \) द्रव्यमानों की कोणीय स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है।

निष्कर्ष: एकल तल में चार द्रव्यमानों को संतुलित करने के लिए ग्राफीय विधि में संतुलन द्रव्यमान (m) और दिए गए घूर्णन त्रिज्या (r) का गुणनफल \(m_1 r_1, m_2 r_2, m_3 r_3, ~और ~m_4 r_4 \) का परिणामी है। यदि प्रणाली पूर्ण रूप से संतुलित है, तो यह परिणामी शून्य होगा।

वर्णन:

प्रत्यागामी द्रव्यमानों का प्राथमिक और द्वितीयक असंतुलित बल। 

माना कि हम निम्न के साथ एक प्रत्यागामी इंजन तंत्र को लेते हैं।

माना कि m = प्रत्यागामी भाग का द्रव्यमान, l = संयोजी छड़ की लम्बाई, r = क्रैंक की त्रिज्या, θ = स्ट्रोक की रेखा के साथ क्रैंक के झुकाव का कोण, ω = क्रैंक की कोणीय गति, n = संयोजी छड़ और क्रैंक त्रिज्या का अनुपात = l / r

प्रत्यागामी भागों के त्वरण को लगभग निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया गया है,

\(a_R=ω^2× r({\cosθ +{\cos2θ\over n }})\)

प्रत्यागामी भागों को त्वरित करने के लिए प्रत्यागामी भाग या बल के कारण जड़त्व बल, 

F_I = F_R = द्रव्यमान × त्वरण 

\(F_I = F_R =m × ω^2× r({\cosθ +{\cos2θ\over n }})\)

क्रैंकशाफ़्ट बेयरिंग (अर्थात् F_BH) पर लगाए गए बल का क्षैतिज घटक जड़त्व बल (F1) के बराबर और इसके विपरीत है। यह बल एक असंतुलित बल होता है और इसे FU द्वारा दर्शाया गया है।

∴ कुल असंतुलित बल निम्न है:

\(F_U=m × ω^2× r({\cosθ +{\cos2θ\over n }})=(m × ω^2× r\cosθ) +({m × ω^2× r{\cos2θ\over n }})\)

कुल असंतुलित बल प्राथमिक और द्वितीयक असंतुलित बल का योग है।

प्राथमिक असंतुलित बल निम्न है:

F_P = m × ω² ×  r × cosθ 

द्वितीयक असंतुलित बल निम्न है:

\(F_S={m × ω^2× r\times{\cos2θ\over n }}\)

• प्राथमिक असंतुलित बल θ = 0° या θ = 180° होने पर अधिकतम होता है। इसलिए प्राथमिक बल क्रैंक के एक चक्कर में अधिकतम दोगुना होता है।
• अधिकतम प्राथमिक असंतुलित बल को F_p(max) = m × ω² ×  r द्वारा ज्ञात किया गया है।
• द्वितीयक असंतुलित बल θ = 0°, θ = 90°, θ = 180°, और θ = 360° होने पर अधिकतम होता है। इसलिए, द्वितीयक बल क्रैंक के एक घूर्णन में चार कोणों के लिए अधिकतम होता है।
• अधिकतम द्वितीयक असंतुलित बल को Fs(max) =  \(m\times\omega^2\times\frac rn\) द्वारा ज्ञात किया गया है।
• इसलिए, यह देखा गया है कि द्वितीयक असंतुलित बल की आवृत्ति प्राथमिक असंतुलित बल का दोगुना है।
• हालाँकि द्वितीयक असंतुलित बल का परिमाण प्राथमिक असंतुलित बल की तुलना में कम (सामान्यतौर पर 4 से 5) होता है।

संकल्पना:

दो सिलेंडर के लिए आघात की रेखा के साथ असंतुलित बल सिलेंडरों के बीच केंद्रीय रेखा YY के आस-पास एक युग्म बनाते हैं। इस युग्म में ऊर्ध्वाधर अक्ष के आस-पास दोलित्र प्रभाव होता है, और इसमें वैकल्पिक रूप से दक्षिणावर्त्त और वामवर्त्त दिशाओं में इंजन के झूलने की प्रवृत्ति होती है। इसलिए युग्म को दोलित्र युग्म के रूप में जाना जाता है।

a दो सिलेंडरों की केंद्र रेखाओं के बीच की दूरी है।

दोलित्र युग्म के लिए सूत्र:

\(F_C=(1-c)m\omega^2r\times\frac{a}{2}(\cos\theta+\sin\theta)\)

θ = 45° या θ = 225° होने पर यह अधिकतम या न्यूनतम होता है

\(F_{c,max}=±\frac{a}{\sqrt2}(1-c)m\omega^2r\)

दोलित्र युग्म का परिमाण दो सिलेंडरों की केंद्रीय रेखा के बीच की दूरी सीधे आनुपातिक होता है। 

व्याख्या:

पारस्परिक द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में भिन्न होता है लेकिन दिशा में स्थिर होता है जबकि घूर्णन द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में स्थिर होता है लेकिन दिशा में भिन्न होता है।

असंतुलित बल:

\({F_U}= m{ω ^2}R\left( {\cosθ + \frac{{\cos2θ }}{n}} \right) \)

\(F_U= m{ω ^2}R\cosθ + m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\)

\(F_P=m{ω ^2}R\cosθ\) = प्राथमिक असंतुलित बल।

\(F_S=m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\) = द्वितीयक असंतुलित बल।

cos और cos 2θ का अधिकतम मान 1 है।

∴ अधिकतम प्राथमिक असंतुलित बल (F_P) = mω2R

∴ अधिकतम द्वितीयक असंतुलित बल \(F_S= \frac{{m{ω ^2}R}}{n}\)

∴ \(\frac{F_S}{F_P}=\frac{{m{ω ^2}R}}{n}\times\frac{1}{m{ω ^2}R}=\frac{1}{n}\)

वर्णन:

विभिन्न तलों में घूमने वाले कई द्रव्यमानों का संतुलन:

• जब कई द्रव्यमान अलग-अलग तलों में घूमते हैं, तो उन्हें संदर्भ तल (जिसे संक्षिप्त रूप से R.P.के रूप में लिखा जाता है) में स्थानांतरित किया जा सकता है, जिसे घूर्णन के अक्ष पर एक बिंदु और इसके लंबवत से होकर गुजरने वाले तल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
• एक घूर्णी द्रव्यमान (एक तल में) का संदर्भ तल में स्थानांतरण का प्रभाव संदर्भ तल में कार्य करने के लिए घूर्णी द्रव्यमान के अपकेंद्रीय बल के बराबर परिमाण के बल का कारण बनता है, जिसके साथ परिमाणों का युग्म बल तथा घूर्णन के तल और संदर्भ तल के बीच की दूरी के गुणनफल के बराबर होता है।

विभिन्न तलों में द्रव्यमानों का प्रतिनिधित्व:

द्रव्यमानों की कोणीय स्थिति:

संदर्भ तल की स्थिति:

विभिन्न तलों में कई घूर्णित द्रव्यमानों का पूर्ण संतुलन प्राप्त करने के क्रम में निम्नलिखित दो स्थितियों को संतुष्ट होना चाहिए:

• विभिन्न तलों में बल को संतुलित होना चाहिए, अर्थात् परिणामी बल शून्य होना चाहिए।
• संदर्भ तल के आस-पास युग्म को संतुलित होना चाहिए, अर्थात् परिणामी युग्म को शून्य होना चाहिए।

अतः उपरोक्त स्थिति को संतुष्ट करने के लिए हमें किसी दो तलों में कम से कम दो द्रव्यमानों की आवश्यकता है।

वर्णन:

प्रत्यागामी द्रव्यमानों के कारण असंतुलित बल परिमाण के सन्दर्भ में परिवर्तनीय होता है पर दिशा के सन्दर्भ में स्थिर रहता है, जब कि, घूर्णन कर रहे द्रव्यमानों के कारण, अन्संतुलित बल परिमाण के सन्दर्भ में स्थिर रहता है पर दिशा के सन्दर्भ में परिवर्तनीय होता है।

असंतुलित बल,

\({F_U}\; = \;m.{\omega ^2}.r\left( {cos\theta + \frac{{cos2\theta }}{n}} \right)\; = \;m.{\omega ^2}.rcos\theta + m.{\omega ^2}.r \times \frac{{cos2\theta }}{n}\; = \;{F_P} + {F_S}\)

(m. ω².r cos θ) समीकरण को प्राथमिक असंतुलित बल के रूप में जाना जाता है, और, \(\left( {m.{\omega ^2}.r \times \frac{{cos2\theta }}{n}} \right)\) को द्वितीयक असंतुलित बल कहा जाता है।

इसलिए प्रत्यागामी द्रव्यमानों के पूर्ण संतुलन के लिए:

1. प्राथमिक और द्वितीयक बलों को संतुलित किया जाना चाहिए

2. प्राथमिक और द्वितीयक युग्मक को संतुलित किया जाना चाहिए

व्याख्या:

प्रत्यागमनी द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में भिन्न होता है लेकिन दिशा में स्थिर होता है जबकि परिक्रामी द्रव्यमान के कारण असंतुलित बल परिमाण में स्थिर होता है लेकिन दिशा में भिन्न होता है।

असंतुलित बल:

\({F_U}= m{ω ^2}R\left( {cosθ + \frac{{cos2θ }}{n}} \right) = m{ω ^2}R\cosθ + m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\)

\(F_P=m{ω ^2}R\cosθ\) = प्राथमिक असंतुलित बल।

\(F_S=m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}\) = द्वितीयक असंतुलन बल।

द्वितीयक असंतुलित बल का व्यंजक निम्न प्रकार से भी लिखा जा सकता है:

\(F_S=m{ω ^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{n}=m{(2ω )^2}R \times \frac{{\cos2θ }}{4n}\)

यह देखते हुए कि प्राथमिक और द्वितीयक असंतुलित बल बराबर है:

\(m{ω_{eq} ^2}R_{eq}\cosθ=m{(2ω^{} )^2} \times \frac{{R}}{4n}\times\cos 2θ\)

इस प्रकार, जब वास्तविक क्रैंक कोण θ = ωt के माध्यम से बदल गया, तो काल्पनिक क्रैंक 2θ = 2ωt का कोण बदल गया होगा।

\(R_{eq}=\frac{R}{4n}=\frac{R^2}{4L}\)

जहाँ \(n=\frac{L}{R}\) तिर्यकता अनुपात के रूप में जाना जाता है।    

यानी द्वितीयक असंतुलित बल का प्रभाव लंबाई \(\frac{R^2}{4L}\) के एक काल्पनिक क्रैंक के बराबर होता है जो दोहरे कोणीय वेग से घूमता है यानी इंजन की गति से दोगुना।

व्याख्या:

संतुलन:

• संतुलक द्रव्यमान का पुनर्वितरण शामिल होता है जिसे विभिन्न मशीन अवयवों से द्रव्यमान संयोजन या वियोजन किया जा सकता है।

स्थैतिक संतुलन:

केवल बल संतुलित हैं: (ΣF = 0)

गतिज संतुलन:

बल, साथ ही आघूर्ण संतुलित हैं: (ΣF = 0, ΣM = 0)

• प्राथमिक असंतुलित बल = (1- C)mrω²cosθ (C प्रत्यागामी द्रव्यमान का अंश है।)
• द्वितीयक असंतुलित बल = mrω²cos2θ/n
• जब θ = 90° होता है तो स्ट्रोक के मध्य में प्राथमिक असंतुलित बल शून्य होता है।

बहु-सिलिन्डर अनुपंक्ति इंजनों की प्राथमिक बलों का संतुलन:

• एक ही तल में और क्रैंकशेफ्ट की केंद्र रेखा के एक ही तरफ सिलिन्डर केंद्र रेखाओं वाले बहु-सिलिन्डर इंजनों को अनुपंक्ति इंजन के रूप में जाना जाता है।
• बहु-सिलिन्डर इंजन के प्रत्यावर्ती भागों का प्राथमिक संतुलन देने के लिए निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:

1. प्राथमिक बलों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, प्राथमिक बल बहुभुज को बंद होना चाहिए।
2. प्राथमिक बलों के तल में किसी भी बिंदु के बारे में बल युग्मों का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, प्राथमिक बल युग्म बहुभुज को बंद होना चाहिए।

• 180° पर क्रैंक वाले दो सिलिन्डर इंजन के लिए, शर्त (1) संतुष्ट हो सकती है, लेकिन इसका परिणाम असंतुलित बल युग्म होगा। इस प्रकार प्राथमिक संतुलन की उपरोक्त विधि इस स्थिति में लागू नहीं की जा सकती।
• 120° पर क्रैंक वाले तीन सिलिन्डर इंजन के लिए और यदि प्रति सिलिन्डर पारस्परिक द्रव्यमान समान है, तो स्थिति (1) संतुष्ट होगी क्योंकि बलों को एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है। हालाँकि, सिलिन्डर केंद्र रेखाओं में से एक के माध्यम से एक संदर्भ तल लेने पर, गैर समानांतर अक्षों वाले दो जोड़े बने रहेंगे और ये सदिश रूप से विलुप्त नहीं हो सकते हैं। इसलिए संतुलन की उपरोक्त विधि इस स्तिथि में भी भंग हो जाती है।

Key Points

• एक प्राथमिक असंतुलित बल सिरे पर अधिकतम होता है, जब θ = 0° और 180° होता है।
• असंतुलित बल का परिमाण वही रहता है अर्थात mrω² के बराबर
• प्रत्यागामी द्रव्यमान के पूर्ण संतुलन के लिए प्राथमिक बल, प्राथमिक बल युग्म, द्वितीयक बल, द्वितीयक बल युग्म सभी संतुलित होने चाहिए।

प्रत्यक्ष और विपरीत क्रैंक की विधि का प्रयोग अरीय और V -इंजन के संतुलन में किया जाता है, जिसमें संपर्क रॉड सामान्य क्रैंक से जुड़े होते हैं। चूँकि विभिन्न क्रैंक (अरीय और V -इंजन में) के घूर्णन के सतह समान होते हैं, इसलिए यहाँ कोई असंतुलित प्राथमिक या द्वितीयक युग्मक नहीं होता है। यह प्राथमिक और द्वितीयक बलों के आंशिक संतुलन के लिए प्रयोग किया जाता है।

वर्णन:

प्रत्यागामी द्रव्यमान की स्थिति में प्राथमिक बल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं। क्योंकि प्रत्यागामी द्रव्यमान में "परिणामी बल" पूर्ण रूप से संतुलित होंगे लेकिन "परिणामी युग्म" संतुलित नहीं होंगे। यही कारण है कि हम यह कह सकते हैं कि प्रत्यागामी द्रव्यमान केवल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं।

चूँकि प्रत्यागामी द्रव्यमान पूर्ण रूप से संतुलित नहीं हो सकते हैं इसलिए प्रत्यागामी द्रव्यमान का आंशिक संतुलन किया जाता है जबकि घूर्णित द्रव्यमान को पूर्ण रूप से संतुलित किया जा सकता है।

प्राथमिक असंतुलित बल \({F_P} = mr{\omega ^2}cos\theta\)

द्वितीयक असंतुलित बल = \({F_S} = \frac{{mr{\omega ^2}cos2\theta }}{n}\)

प्रत्यागामी भागों के आंशिक संतुलन का प्रभाव

प्रत्यागामी भाग केवल आंशिक रूप से संतुलित होते हैं। प्रत्यागामी भागों के इस आंशिक संतुलन के कारण, स्ट्रोक की रेखा के अनुदिश एक असंतुलित प्राथमिक बल होता है और साथ ही स्ट्रोक की रेखा के लंबवत एक असंतुलित प्राथमिक बल होता है। स्ट्रोक की रेखा के अनुदिश एक असंतुलित प्राथमिक बल के प्रभाव के कारण निम्न उत्पादित होते हैं;

• स्ट्रोक की रेखा के अनुदिश कर्षण बल में भिन्नता
• दोलक युग्म