Heat Equation, Wave Equation, Laplace Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Heat Equation, Wave Equation, Laplace Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Heat Equation, Wave Equation, Laplace Equation MCQ Objective Questions
Heat Equation, Wave Equation, Laplace Equation Question 1:
माना ऊष्मा समीकरण \(\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}\) + \(\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}\), t ≥ 0, x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3 एक घातीय फलन exp(i(kx + wt)) को अपने हल के रूप में स्वीकार करता है, जहाँ k एक शून्येतर स्थिरांक वास्तविक सदिश है और w एक स्थिरांक है। तब, हल
Answer (Detailed Solution Below)
Heat Equation, Wave Equation, Laplace Equation Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
u = \(e^{i(kx+wt)}\) जहाँ k एक शून्येतर स्थिरांक वास्तविक सदिश है और w एक स्थिरांक है।
माना k = (k1, k2, k3)। दिया गया है x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3
इसलिए \(\frac{\partial u}{\partial t}=iwe^{i(kx+wt)}\)....(i)
अब, \(\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}\) + \(\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}\) = \(i^2(k_1^2+k_2^2+k_3^2)e^{i(kx+wt)}\) = \(-|k|^2e^{i(kx+wt)}\)....(ii)
अतः दिए गए समीकरण में मान रखने पर हमें प्राप्त होता है
\(iwe^{i(kx+wt)}\) = \(-|k|^2e^{i(kx+wt)}\)
⇒ iw = - |k|2
⇒ w = i |k|2
इसलिए हल बन जाता है
u = \(e^{i(kx+i|k|^2t)}\) = \(e^{ikx}.e^{-|k|^2t}\) = \(e^{-|k|^2t}(\cos kx+i\sin kx)\)
इसलिए u ℝ3 में कुछ समतलों पर स्थिर रहता है।
एक निश्चित लंबाई L के बाद स्वयं को दोहराता है।
सामान्य रूप से, समय t के साथ घातीय रूप से क्षय होने वाला आयाम रखता है।
एक निश्चित t के लिए x ∈ ℝ3 के लिए समान रूप से परिबद्ध है।
सभी विकल्प सही हैं
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Heat Equation, Wave Equation, Laplace Equation Question 2:
माना ऊष्मा समीकरण \(\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}\) + \(\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}\), t ≥ 0, x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3 एक घातीय फलन exp(i(kx + wt)) को अपने हल के रूप में स्वीकार करता है, जहाँ k एक शून्येतर स्थिरांक वास्तविक सदिश है और w एक स्थिरांक है। तब, हल
Answer (Detailed Solution Below)
Heat Equation, Wave Equation, Laplace Equation Question 2 Detailed Solution
व्याख्या:
u = \(e^{i(kx+wt)}\) जहाँ k एक शून्येतर स्थिरांक वास्तविक सदिश है और w एक स्थिरांक है।
माना k = (k1, k2, k3)। दिया गया है x = (x1, x2, x3) ∈ ℝ3
इसलिए \(\frac{\partial u}{\partial t}=iwe^{i(kx+wt)}\)....(i)
अब, \(\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}\) + \(\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2}\) = \(i^2(k_1^2+k_2^2+k_3^2)e^{i(kx+wt)}\) = \(-|k|^2e^{i(kx+wt)}\)....(ii)
अतः दिए गए समीकरण में मान रखने पर हमें प्राप्त होता है
\(iwe^{i(kx+wt)}\) = \(-|k|^2e^{i(kx+wt)}\)
⇒ iw = - |k|2
⇒ w = i |k|2
इसलिए हल बन जाता है
u = \(e^{i(kx+i|k|^2t)}\) = \(e^{ikx}.e^{-|k|^2t}\) = \(e^{-|k|^2t}(\cos kx+i\sin kx)\)
इसलिए u ℝ3 में कुछ समतलों पर स्थिर रहता है।
एक निश्चित लंबाई L के बाद स्वयं को दोहराता है।
सामान्य रूप से, समय t के साथ घातीय रूप से क्षय होने वाला आयाम रखता है।
एक निश्चित t के लिए x ∈ ℝ3 के लिए समान रूप से परिबद्ध है।
सभी विकल्प सही हैं