Integral Domain & its types MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Integral Domain & its types - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

एक समाकलन डोमेन एक इकाई युक्त क्रमविनिमेय वलय है जिसका कोई शून्य विभाजक नहीं होता।

स्पष्टीकरण:

(1): ℝ[x] एकता 1 के साथ एक विनिमेय वलय है।

मान लीजिए f(x), g(x) ∈ ℝ[x], यदि f(x)g(x) = 0 तो या तो f(x) = 0 या g(x) = 0.

अतः ℝ[x] एक पूर्णांकीय डोमेन है।

(1) सत्य है.

(2): मान लीजिए f(x), g(x) ∈ C ¹ [0, 1] द्वारा परिभाषित

f(x) = \(\begin{cases}\frac12-x, x∈ [0, \frac12)\\0, x∈ [\frac12, 1]\end{cases}\)

और g(x) = \(\begin{cases}0, x∈ [0, \frac12)\\2x-1, x∈ [\frac12, 1]\end{cases}\)

तब f(x) ⋅ g(x) = 0 यद्यपि f(x) ≠ 0, g(x) ≠ 0

इसलिए, C 1 [0, 1] का कोई शून्य विभाजक नहीं है और इसलिए यह पूर्णांक डोमेन नहीं है।

(2) गलत है.

(3): मान लीजिए A, B ∈ M n (ℝ) तो सामान्यतः AB ≠ BA.

अतः यह परिवर्तनीय नहीं है।

इसलिए M n (ℝ) पूर्णांक डोमेन नहीं है।

(3) गलत है.

व्याख्या:

दिया गया बहुपद (X⁴ + 4) ℝ[X] में है। हमें भागफल वलय ℝ[X]/(X⁴ + 4) के गुणों की जाँच करने की आवश्यकता है,

जहाँ (X⁴ + 4) (X⁴ + 4) द्वारा उत्पन्न आदर्श है।

ℝ पर, (X⁴ + 4) = (X² + 2)(X² - 2) का गुणनखंडन करने पर,

दोनों X² + 2 ℝ पर अलघुकरणीय नहीं है क्योंकि इसके मूल ±√2i हैं, लेकिन X² - 2 के वास्तविक मूल हैं।

इसलिए (X⁴ + 4) अलघुकरणीय नहीं है।

चूँकि X⁴ + 4 अलघुकरणीय नहीं है, इसलिए भागफल वलय ℝ[X]/(X⁴ + 4) एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है।

एक वलय एक पूर्णांकीय प्रांत होता है यदि इसमें कोई शून्य भाजक नहीं होते हैं।

इस मामले में, (X² + 2)(X² - 2) में गुणनखंडन का अर्थ है कि भागफल वलय में शून्य भाजक होंगे।

इसके अतिरिक्त, ℝ[X]/(X⁴ + 4) में शून्येतर शून्यभावी अवयव नहीं हैं। इस वलय में एकमात्र शून्यभावी अवयव 0 है।

भागफल वलय एक क्षेत्र नहीं है क्योंकि X⁴ + 4 अलघुकरणीय नहीं है।

भागफल वलय एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है क्योंकि X⁴ + 4 दो अतुच्छ कारकों में गुणनखंडित होता है, जिससे शून्य भाजक उत्पन्न होते हैं।

वलय में शून्य भाजक हैं, लेकिन एकमात्र शून्यभावी अवयव 0 है।

भागफल वलय में कोई शून्येतर शून्यभावी अवयव नहीं हैं।

इसलिए, विकल्प 3) सही है।

व्याख्या -

यदि किसी पूर्णांकीय प्रांत में a² = a है, तो a = 0 या a = 1 होना चाहिए।

इसलिए विकल्प (iii) सही है।

स्पष्टीकरण -

यह सदैव सत्य है। एक क्षेत्र एक समाकलन प्रांत की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक संकल्पना है। जबकि प्रत्येक क्षेत्र एक समाकलन प्रांत है, प्रत्येक समाकलन प्रांत एक क्षेत्र नहीं है।

अतः विकल्प (I) सही है।

संकल्पना -

एक समाकल प्रांत को इकाई वाला एक क्रमविनिमय वलय होना चाहिए (1 को वलय से संबंधित होना चाहिए और गुणक तत्समक के रूप में कार्य करना चाहिए), और इसमें कोई शून्य विभाजक नहीं होना चाहिए (यदि (ab= 0), तब या तो (a = 0) या (b = 0)) है।

स्पष्टीकरण -

(1)  \((\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot)\):

यह वलय एक समाकल प्रांत नहीं है क्योंकि इसमें शून्य विभाजक हैं।

उदाहरण के लिए, \((1, 0) \cdot (0, 1) = (0, 0)\), जहाँ \((\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot)\) में न तो ((1, 0)) और न ही ((0, 1)) शून्य अवयव है।

अतः विकल्प(1) गलत है।

(2) \((\mathbb{Z}, +, \cdot)\):

यह पूर्णांकों का वलय है. यह एक समाकल प्रांत है क्योंकि पूर्णांक जोड़ और गुणा के अंतर्गत क्रमविनिमय होते हैं, एक गुणात्मक सर्वसमिका (1) है,

और \(\mathbb{Z}\) में कोई शून्य भाजक नहीं हैं।

अतः विकल्प (2) सत्य है।

(3) \((2\mathbb{Z}, +, \cdot)\):

इस वलय में सभी सम पूर्णांक सम्मिलित हैं। यह मुख्य रूप से एक समाकल प्रांत नहीं है क्योंकि इसमें कोई गुणात्मक सर्वसमिका शामिल नहीं है जो सम पूर्णांकों के समुच्चय में है

यह पूर्णांकों में "1" जैसा व्यवहार करता है, क्योंकि एक समाकल प्रांत की परिभाषा के लिए एक इकाई अवयव (1) की आवश्यकता होती है, जिसे प्रांत में किसी भी अवयव से गुणा करने पर,

अवयव में ही परिणाम होता है, और "1" एक सम पूर्णांक नहीं है।

इस प्रकार, \(2\mathbb{Z}\) आवश्यकतानुसार प्रांत के भीतर गुणक सर्वसमिका रखने की शर्त को पूरा नहीं करता है।

अतः विकल्प (3) सत्य है।

(4) \((\mathbb{Z}_8, +, \cdot)\):

यह पूर्णांक मापांक 8 का वलय है। यह एक समाकल प्रांत नहीं है क्योंकि इसमें शून्य विभाजक हैं।

उदाहरण के लिए, (2.4 = 0 mod 8), जहाँ न तो (2) और न ही (4), \(\mathbb{Z}_8\) में (0) है।

अतः, विकल्प (4) गलत है।

अवधारणा:

(ii) एक क्रमविनिमेय तत्समकी वलय, उसे पूर्णांकीय प्रांत कहा जाता है यदि उसमें कोई शून्य भाजक न हो।

(iii) यदि किसी वलय R में प्रत्येक शून्येतर अवयव एक इकाई है, तो R को एक विभाजन वलय कहा जाता है और क्रमविनिमेय विभाजन वलय को क्षेत्र कहा जाता है।

व्याख्या:

मान लीजिए F पूर्णांकीय प्रांत I को समाहित करने वाला क्षेत्र है और F' I का भागफल क्षेत्र है।

यदि a और b, जहाँ b ≠ 0, I में हैं, तो ab^-1 ∈ F है।

मान लीजिए F₁, F का उपक्षेत्र है और मान लीजिए कि F₁ में ab^-1 प्रकार के अवयव हैं। तब प्रतिचित्रण f : F' → F₁, जो दिया गया है

\(\rm f\left(\frac{a}{b}\right)=ab^{-1}\)

जहाँ

\(\rm \frac{a}{b}\in F'\)

को आसानी से एकैकी और आच्छादक प्रतिचित्रण सिद्ध किया जा सकता है।

साथ ही, यदि \(\rm f\left(\frac{a}{b}\right)=ab^{-1}\) है,

\(\rm f\left(\frac{c}{d}\right)=cd^{-1}\)

तब \(\rm f\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)=f\rm \left(\frac{ad+bc}{bd}\right)\)

= (ad + bc)(bd)^-1, bd ≠ 0

= (ad + bc) ⋅ b^-1 d^-1 [∵ (bd)^-1 = b^-1 d^-1]

= adb^-1d^-1 + bcb^-1d^-1

= ab^-1dd^-1 + cd^-1bb^-1

= ab^-1 + cd^-1

पुनः \(\rm f\left(\frac{a}{b}⋅\frac{c}{d}\right)=f\rm \left(\frac{ac}{bd}\right)\)

= (ac)(bd)^-1

= (ac)(b^-1d^-1)

= (ab^-1 ⋅ cd^-1)

साथ ही, b, d (जहाँ b ≠ 0, d ≠ 0) F के अवयव होने के कारण एक आबेली गुणात्मक समूह के अवयव हैं।

इसलिए, उपक्षेत्र F₁ भागफल क्षेत्र F के तुल्याकारी है।

व्याख्या -

यदि R एक पूर्णांकीय प्रांत है और I, R की एक गुणजावली है, तो भागफल वलय R/I आवश्यक रूप से पूर्णांकीय प्रांत नहीं हो सकता है। एक ठोस उदाहरण है जब 'I' एक अभाज्य गुणजावली नहीं है।

अन्य सभी विकल्प सामान्यतः सत्य कथन हैं।

इसलिए, विकल्प (iii) सही है।

प्रयुक्त संकल्पना:

एक "इकाई वाला क्रमविनिमय वलय और इसमें शून्य का भाजक होता है" एक गणितीय संरचना है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

क्रमविनिमय वलय: यह एक समुच्चय R है जो द्विआधारी संक्रिया से सुसज्जित है, जिसे सामान्यतः योग + और गुणन के रूप में इस प्रकार दर्शाया जाता है कि निम्नलिखित गुणधर्म R में सभी अवयवों a, b, और c के लिए सत्य हैं:

• योग साहचर्य और क्रमविनिमय है।
• एक योज्य तत्समक अवयव 0 इस प्रकार विद्यमान है कि R में सभी a के लिए a + 0 = a है।
• प्रत्येक अवयव में एक योज्य प्रतिलोम अर्थात R में प्रत्येक a के लिए, एक अवयव -a इस प्रकार विद्यमान होता है कि a + (-a) = 0 है।
• गुणन साहचर्य और क्रमविनिमय है।
• एक योज्य तत्समक अवयव 1 इस प्रकार विद्यमान है कि R में सभी a के लिए a ⋅ 1 = a है।
• गुणन जोड़ पर वितरण अर्थात, R में सभी a, b और c के लिए \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) और \((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\) है।

शून्य का भाजक सम्मिलित है: इस गुण का अर्थ है कि R में अशून्य अवयव a और b इस प्रकार विद्यमान है कि उनका गुणनफल शून्य के बराबर अर्थात, a ⋅ b = 0 है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: M2 (R) सभी 2x2 आव्यूहों का समुच्चय है।

जैसा कि हम जानते हैं, आव्यूह योज्य क्रमविनिमय और साहचर्य है, और आव्यूह गुणन केवल साहचर्य है क्रमविनिमय नहीं है।

इस प्रकार, M2 (R) एक क्रमविनिमय वलय नहीं हो सकता है।

अब, आइए विचार कीजिए और उदाहरण दीजिए,

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), और \(B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

यहाँ, A और B दो अशून्य 2x2 आव्यूह हैं।

\( AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

और \(BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

इस स्थिति में, A और B दोनों अशून्य आव्यूह हैं, लेकिन उनका गुणनफल शून्य आव्यूह है, जिससे वे शून्य भाजक बन जाते हैं।

इसलिए, M2 (R) शून्य विभाजक वाला एक गैर क्रमविनिमय वलय के उदाहरण के रूप में कार्य करता है।

व्याख्या:

दिया गया बहुपद (X⁴ + 4) ℝ[X] में है। हमें भागफल वलय ℝ[X]/(X⁴ + 4) के गुणों की जाँच करने की आवश्यकता है,

जहाँ (X⁴ + 4) (X⁴ + 4) द्वारा उत्पन्न आदर्श है।

ℝ पर, (X⁴ + 4) = (X² + 2)(X² - 2) का गुणनखंडन करने पर,

दोनों X² + 2 ℝ पर अलघुकरणीय नहीं है क्योंकि इसके मूल ±√2i हैं, लेकिन X² - 2 के वास्तविक मूल हैं।

इसलिए (X⁴ + 4) अलघुकरणीय नहीं है।

चूँकि X⁴ + 4 अलघुकरणीय नहीं है, इसलिए भागफल वलय ℝ[X]/(X⁴ + 4) एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है।

एक वलय एक पूर्णांकीय प्रांत होता है यदि इसमें कोई शून्य भाजक नहीं होते हैं।

इस मामले में, (X² + 2)(X² - 2) में गुणनखंडन का अर्थ है कि भागफल वलय में शून्य भाजक होंगे।

इसके अतिरिक्त, ℝ[X]/(X⁴ + 4) में शून्येतर शून्यभावी अवयव नहीं हैं। इस वलय में एकमात्र शून्यभावी अवयव 0 है।

भागफल वलय एक क्षेत्र नहीं है क्योंकि X⁴ + 4 अलघुकरणीय नहीं है।

भागफल वलय एक पूर्णांकीय प्रांत नहीं है क्योंकि X⁴ + 4 दो अतुच्छ कारकों में गुणनखंडित होता है, जिससे शून्य भाजक उत्पन्न होते हैं।

वलय में शून्य भाजक हैं, लेकिन एकमात्र शून्यभावी अवयव 0 है।

भागफल वलय में कोई शून्येतर शून्यभावी अवयव नहीं हैं।

इसलिए, विकल्प 3) सही है।

व्याख्या -

यदि किसी पूर्णांकीय प्रांत में a² = a है, तो a = 0 या a = 1 होना चाहिए।

इसलिए विकल्प (iii) सही है।

स्पष्टीकरण -

एक समाकलन प्रांत सर्वसम्मिका सहित एक विनिमेय वलय है  जहां अशून्य तत्वों का उत्पाद भी अशून्य होता है (इसमें कोई शून्य विभाजक नहीं होता है)।

अतः विकल्प (iii) सही है।

समाधान:

दी गई संरचना \(\mathbb{Z}(\frac{1+\sqrt{-19}}{2}) \) हमेशा सिद्धांत आदर्श डोमेन है। अतः यह पूर्णांकीय डोमेन भी है।

लेकिन \(\mathbb{Z}(\frac{1+\sqrt{-19}}{2}) \) यूक्लिडीय डोमेन नहीं है।

इसलिए, सही विकल्प, विकल्प 1 और विकल्प 2 हैं।

संकल्पना​ -

मुख्य आदर्श प्रांत एक विशिष्ट प्रकार का समाकल प्रांत है, जिसमें प्रत्येक आदर्श को एक अवयव द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। 

एक समाकल प्रांत 'R' एक प्रमुख आदर्श प्रांत है, यदि:

यह क्रमविनिमेय है: R में किसी भी 'a' और 'b' के लिए, ab = ba
 इसकी एक इकाई (या तत्समक) है: R में एक '1' मौजूद है जैसे कि R में किसी भी अवयव 'a' के लिए, a1 = 1a = a
इसका कोई शून्य भाजक नहीं है: यदि 'a' और 'b' R में हैं और a*b = 0 है, तो या तो a=0 या b=0।
वलय का प्रत्येक आदर्श प्रधान है। ​वलय 'R' का एक आदर्श 'I' मुख्य है यदि 'R' में एक अवयव 'a' इस प्रकार मौजूद है कि 'I' में प्रत्येक अवयव 'b' को 'R' में कुछ 'r' के लिए 'b = ra' के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, आदर्श 'I' एक अवयव 'a' द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है।

PID के उदाहरण-  पूर्णांक Z का वलय और एक क्षेत्र F पर बहुपद F[x] का वलय।

स्पष्टीकरण -

हम जानते हैं कि Z₆ एक PID नहीं है क्योंकि इसमें शून्य विभाजक हैं। यदि हम Z₆ में \(2,3 \in Z_6\) लेते हैं लेकिन 2 x 3 = 6 = 0 

अतः विकल्प (iv) सही है।