Miller Indices MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Miller Indices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण:

एक घनीय जालक में [111] और [100] दिशाओं के बीच का कोण, हम दो सदिशों के बीच के कोण के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

        cos θ = (A · B) / (|A| |B|)
    

जहाँ A और B क्रमशः [111] और [100] दिशाओं के अनुदिश सदिश हैं।

अदिश गुणनफल A · B की गणना इस प्रकार की जाती है:

A · B = (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) = 1

A का परिमाण है:

        |A| = √(1² + 1² + 1²) = √3
    

B का परिमाण है:

        |B| = √(1²) = 1

अब, हम cos θ की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

cos θ = 1 / (√3 * 1) = 1 / √3

कोण θ है:

θ = cos⁻¹(1 / √3) ≈ 54.7°

सही उत्तर 54.7° है।

संकल्पना व्याख्या:
मिलर सूचकांक एक जालक में एक क्रिस्टल तल के अभिविन्यास का वर्णन करते हैं। उनकी गणना क्रिस्टल-संरचनात्मक अक्षों के साथ तल द्वारा किए गए प्रतिच्छेदन के व्युत्क्रम के रूप में की जाती है, जिन्हें सबसे छोटे पूर्णांकों तक कम किया जाता है।

मिलर सूचकांक की गणना करने के चरण:
1. अंत:खण्ड: उन बिंदुओं की पहचान करें जहां तल जालक स्थिरांक के संदर्भ में अक्षों को प्रतिच्छेद करता है।
2. व्युत्क्रम: अंत:खण्ड के व्युत्क्रम लें।
3. सरलीकरण: सबसे छोटे पूर्णांक प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम को एक सामान्य गुणक से गुणा करें।

दिया गया है:
तल मुख्य अक्षों \(\mathbf{a_1} , \mathbf{a_2}\) , और \(\mathbf{a_3}\) को प्रतिच्छेद करता है:
\(3a_1 ,\\ 4a_2 , \\ 2a_3 .\)

हल:
1. अंत:खण्ड: अंत:खण्ड हैं:
\(3 \text{ along } \mathbf{a_1} ,\\ 4 \text{ along } \mathbf{a_2} , \\ 2 \text{ along } \mathbf{a_3} . \)
2. व्युत्क्रम:
3 का व्युत्क्रम \(\frac{1}{3}\) है,
4 का व्युत्क्रम \(\frac{1}{4} \) है,
2 का व्युत्क्रम \(\frac{1}{2}\) है।

3. हरों का एक सामान्य गुणज (इस स्थिति में 12) और प्रत्येक व्युत्क्रम को 12 से गुणा करें:
\( \frac{1}{3} \times 12 = 4 ,\\ \frac{1}{4} \times 12 = 3 ,\\ \frac{1}{2} \times 12 = 6 .\)

अंतिम मिलर सूचकांक:
तल के मिलर सूचकांक (4, 3, 6) हैं।

सही विकल्प (1) है: (4, 3, 6)

अवधारणा:

मिलर सूचकांक क्रिस्टलोग्राफी में एक संकेतन प्रणाली है जिसका उपयोग क्रिस्टल जालक में तलों और दिशाओं के अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए किया जाता है। वे जालक के भीतर उनके ज्यामितीय संबंधों के आधार पर क्रिस्टल तलों और दिशाओं की विशिष्ट पहचान करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।

1. संकेतन: मिलर सूचकांक तीन पूर्णांकों (h, k, l) द्वारा दर्शाए जाते हैं जो कोष्ठक में संलग्न होते हैं (जैसे, (hkl))। ये सूचकांक उन अंतःखंडों के अनुरूप होते हैं जो एक तल क्रिस्टल अक्षों के साथ बनाता है।

2. व्युत्क्रम अंतःखंड: मिलर सूचकांक प्राप्त करने के लिए, आप तीन क्रिस्टलोग्राफिक अक्षों पर तल के भिन्नात्मक अंतःखंडों के व्युत्क्रम लेते हैं:
यदि एक तल x, y और z अक्षों को a, b और c पर अंतःखंडित करता है, तो मिलर सूचकांक इस प्रकार परिकलित किए जाते हैं:
\(\ (h, k, l) = \left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right)\)

यदि कोई तल किसी अक्ष के समानांतर है (जैसे, अंतःखंडित नहीं करता है), तो उसके अंतःखंड को अनंत माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप उस दिशा के लिए मिलर सूचकांक शून्य होता है।

3. भिन्नों को हटाना: व्युत्क्रम मान ज्ञात करने के बाद, सूचकांक को सबसे छोटे पूर्णांकों में बदल दिया जाता है जो समान अनुपात बनाए रखते हैं।

4. ऋणात्मक सूचकांक: एक ऋणात्मक सूचकांक को संख्या पर एक बार लगाकर दर्शाया जाता है (जैसे, \(\overline{h}\ \ \text{ for } -h\)), यह दर्शाता है कि तल संबंधित अक्ष को ऋणात्मक दिशा में प्रतिच्छेद करता है।

5. क्रिस्टलोग्राफी में उपयोग: मिलर सूचकांक विभिन्न क्रिस्टल तलों की पहचान और वर्गीकरण, बहुक्रिस्टलीय पदार्थों में अनाज के अभिविन्यास का निर्धारण और क्रिस्टल समरूपता का विश्लेषण करने में सहायता करते हैं।

व्याख्या:

तल x-अक्ष को एक दूरी पर और y-अक्ष को एक दूरी पर काटता है। और Z के समानांतर है इसलिए दूरी → ∞ है।

\(a:b:c::1:1:\infty \)

अंतःखंड का व्युत्क्रम लेने पर,

\((h,k,l)=(1,1,0)\)

सही विकल्प (3) है।

संप्रत्यय:

मिलर सूचकांक तीन पूर्णांकों का एक समूह है जिसका उपयोग क्रिस्टल जालक में क्रिस्टलोग्राफिक तलों के अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए किया जाता है। ये सूचकांक क्रिस्टलोग्राफी, पदार्थ विज्ञान और ठोस-अवस्था भौतिकी के क्षेत्रों में क्रिस्टल संरचनाओं की पहचान और लक्षण वर्णन करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

एक तल के लिए मिलर सूचकांक को (h k l) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ h, k और l मिलर सूचकांक हैं जो क्रमशः तीन क्रिस्टलोग्राफिक अक्षों x, y और z के साथ क्रिस्टलोग्राफिक तल के अंतःखंडों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

व्याख्या:

दिया गया है:

(h, k, l)=\((\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}) =\)(2,2,0), जहाँ a, b, c क्रमशः x, y, z अक्ष पर अंतःखंड हैं।

अंतःखंड होगा

⇒ \( (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\infty)\)

इसका अर्थ है कि तल z-अक्ष के समानांतर है और क्रमशः 1/2, 1/2 पर x और y-अक्ष को काटता है।

केवल संभव आरेख (3) है।

सही विकल्प (3) है।

संकल्पना:

मिलर सूचकांक इकाई सेल और क्रिस्टल में तलों और दिशाओं को नामित करने की शैलियाँ हैं।

मिलर सूचकांकों (hkl) को क्रमशः तीन आयताकार अक्षों x, y और z पर समतल द्वारा बनाए गए अंतःखंड p, q और r के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जाता है। ये तीन अक्षों के साथ मूल बिंदु से इकाई दूरी हैं। इस प्रकार

\(h=\frac{1}{p},~k=\frac{1}{q},~l=\frac{1}{r}\)

जहाँ, p = x-अक्ष पर तल का अवरोधन, q = y-अक्ष पर तल का अवरोधन, और r = z-अक्ष पर तल का अवरोधन।

इन अंतःखंडों के व्युत्क्रम को फिर पूर्ण संख्याओं में बदल दिया जाता है। यह हर के LCM लेने के बाद प्राप्त संख्या से प्रत्येक पारस्परिक को गुणा करके किया जा सकता है।

यह मिलर को आवश्यक तल के सूचकांक देता है। मिलर सूचकांकों को तीन सबसे छोटे पूर्णांकों द्वारा व्यक्त किया जाता है।

गणना

.

तल AFGD विकर्ण तल है।

x, y और z अक्ष पर अवरोधन (1, 1, ∞)

अवरोधन का व्युत्क्रम = 1, 1, 0

सूचकांक = (110)

संकल्पना:

क्रिस्टल-संरचनात्मक तल:

• यह एकक कोष्ठिका में स्थित तल होता है, क्रिस्टल-संरचनात्मक तलों को मिलर सूचकांक के संदर्भ में दर्शाया गया है। 
• एकल तल का प्रतिनिधित्व [xyz] है।
• एक तल की श्रेणी का प्रतिनिधित्व ={xyz} है। 

गणना:

दिया गया है:

अब, माना कि 'a' दिए गए घन की भुजा है तथा तल x और y - अक्ष के मध्य में एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करता है।

इसलिए, तल भिन्न = \(\frac{a}{2}\), \(\frac{a}{2}\), ∞  हैं। 

तल भिन्न का व्युत्क्रम = \(\frac{2}{a}\), \(\frac{2}{a}\), 0 

व्युत्क्रम को न्यूनतम पूर्णांक को परिवर्तित करने के लिए a से गुणा करने पर

∴ मिलर सूचकांक = [220]

संकल्पना:

मिलर सूचकांक:

• मिलर सूचकांक क्रिस्टलीय जालक में आणविक तल के अभिविन्यास के लिए सदिश का चित्रात्मक प्रतिनिधित्व है। 
• इसे भिन्नात्मक अन्तःखण्ड के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है जो क्रिस्टल-संरचनात्मक अक्षों के साथ तल बनाता है। 

1. प्रत्येक तीन क्रिस्टल-संरचनात्मक दिशाओं के साथ तल के अन्तःखण्ड को निर्धारित करना। 
2. अन्तःखण्ड का व्युत्क्रम लेना। 
3. भिन्न का ल.स. लेना और इसे अन्तःखण्ड के व्युत्क्रम से गुणा करना। 

गणना:

दिया गया है, 

तल का अन्तःखण्ड = (a, 2b, \( - \frac{{3c}}{2}\))

अन्तःखण्ड = (1, 2, \( - \frac{{3}}{2}\))

अन्तःखण्ड का व्युत्क्रम = 1, \( \frac{{1}}{2}\), \( - \frac{{2}}{3}\))

ल.स. = 6

तल का मिलर सूचकांक = ल.स. × अन्तःखण्ड का व्युत्क्रम 

∴ तल का मिलर सूचकांक = (6, 3, - 4)

अवधारणा:

मिलर सूचकांक:

मिलर सूचकांक का उपयोग दिशाओं और समतलों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है।

ये दिशाएँ और तल किसी जाली या क्रिस्टल में हो सकते हैं।

यदि दो बिंदु M (x1, y1, z1) और N (x2, y2, z2) हैं तो दिशा [(x2 - x1) (y2 - y1) (z2 - z1)] द्वारा दी गई है

• ऋणात्मक संख्याओं को बार चिह्न द्वारा दर्शाया जा सकता है।
• सामान्य कारक को नजरअंदाज किया जा सकता है।

गणना:

दिया गया है:

A1 (1, 0, 0) और A2 (0, 0,1)

A की दिशा [(0 - 1) (0 - 0) (1 - 0)] ⇒ [-1 0 1]

\(∴ A \;[{\bar{1}}\;0\;1]\)

\({B_1}\left( {\frac{1}{2},1,0} \right)\;and\;{B_2}\;\left( {1,0,1} \right)\)

\({\rm{Direction\;of}}\;B\;\left[ {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {0 - 1} \right)\left( {1 - 0} \right)} \right] \Rightarrow \left[ {\frac{1}{2} - 1\;1} \right]\)

\(∴ B\left[ {\frac{1}{2}\;\bar 1\;1} \right]\Rightarrow B\;[{1}\;\bar 2\;2]\)

\({C_1}\left( {0,\frac{3}{4},1} \right)\;and\;{C_2}\left( {1,\;0,\;0} \right)\)

\({\rm{Direction\;of}}\;C\left[ {\left( {1 - 0} \right)\left( {0 - \frac{3}{4}} \right)\left( {0 - 1} \right)} \right] \Rightarrow \left[ {1 - \frac{3}{4}\; - 1} \right]\)

\(∴ C\left[ {1\;\frac{{\bar 3}}{4}\;\bar 1} \right] \Rightarrow \left[ {4\;\bar 3\;\bar 1} \right]\)

\(\;{D_1}\;\left( {0,\;0,\;0} \right)\;and\;{D_2}\;\left( {0,\;1,\;\frac{1}{2}} \right)\)

\({\rm{Direction\;of}}\;D\left[ {\left( {0 - 0} \right)\left( {1 - 0} \right)\left( {\frac{1}{2} - 0} \right)} \right] \Rightarrow \left[ {0\;1\;\frac{1}{2}} \right]\)

∴ D [0 2 1]

संकल्पना:

• मिलर सूचकांक इकाई सेल्स और क्रिस्टल में समतलों और दिशाओं को निर्दिष्ट करने की शैली हैं।
• मिलर सूचकांक (hkl) को तीन आयताकार अक्षों x, y और z पर समतल द्वारा बनाए गए अवरोधन p, q और r के पारस्परिक के रूप में व्यक्त किया जाता है।
• ये तीन अक्षों के साथ मूल से इकाई दूरी हैं। इस प्रकार

\(h=\frac{1}{p},~k=\frac{1}{q},~l=\frac{1}{r}\)

जहाँ p =  x-अक्ष पर समतल का अवरोधन, q = y-अक्ष पर समतल का अवरोधन, और r = z-अक्ष पर समतल का अवरोधन

गणना:

दिया गया है :

समतल का मिलर सूचकांक = (632)

चूंकि, मिलर सूचकांंक क्रमशः तीन आयताकार x, y और z पर समतल द्वारा बनाए गए अवरोधन p, q, और r के पारस्परिक द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। इसलिए मिलर सूचकांकों के अवरोधन अन्योन्य प्रदान करेंगे।

मूल और बिंदुओं से दूरी जिस पर समतल प्रतिच्छेद करता है= \(\frac{{1}}{{6}}, \frac{{1}}{{3}}~and~\frac{{1}}{{2}}\) units

अवधारणा :

• मिलर सूचकांक इकाई सेल और क्रिस्टल में समतलों और दिशाओं को निर्दिष्ट करने की शैलियाँ हैं।
• मिलर सूचकांक (hkl) को क्रमशः तीन आयताकार x, y और z अक्षों पर समतल द्वारा बनाए गए अंतर्खंड p, q और r के पारस्परिक के रूप में व्यक्त किया जाता है।
• ये तीन अक्षों के अनुदिश मूल से इकाई दूरी हैं। इस प्रकार

\(h=\frac{1}{p},~k=\frac{1}{q},~l=\frac{1}{r}\)

जहाँ p = x - अक्ष पर समतल का अंतर्खंड, q = y- अक्ष पर समतल का अंतर्खंड, और r = z- अक्ष पर समतल का अंतर्खंड।

व्याख्या:

• गुलाबी रंग के समतल पर विचार करें जो समानांतर समतलों की अनंत संख्या में से एक है जिनमें से प्रत्येक मूल (बैंगनी समतलों) से एक सुसंगत दूरी ("a") दूर है।

• समतल बिंदु a पर x-अक्ष को प्रतिच्छेदित करता है।
• यह y और z अक्षों के अनुदिश समानांतर चलता है।
• इस प्रकार इस समतल को (1, ∞, ∞) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है

1) इसी तरह पीला समतल (∞,1,∞) के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है

और हरा समतल (∞, ∞, 1) के रूप में लिखा जा सकता है

मिलर सूचकांक प्रत्येक क्रिस्टल फलक के मापदंडों के पारस्परिक हैं। इस प्रकार:

• गुलाबी फलक = (1/1, 1/∞, 1/∞) = (100)
• हरा फलक = (1/∞, 1/∞, 1/1) = (001)
• पीला फलक = (1/∞, 1/1, 1/∞) = (010)

मिलर सूचकांकों के लिए प्रक्रिया

चरण 1: मूल 'O' और अक्ष x, y, z का पता लगाएं

चरण 2: समतल अंश (समतल आयाम) खोजें = P, Q, R

चरण 3: समतल अंशों के पारस्परिकों की गणना करें= \(\frac{1}{P},\frac{1}{Q},\frac{1}{R}\)

[h, k, l] मिलर सूचकांक हैं।

समानांतर समतलों के लिए

मूल से सभी दिशाओं के लिए दूरी समान होगी। तो उन के पारस्परिक भी समान होंगे।

समानांतर समतलों के लिए मिलर सूचकांक समान होंगे

उदाहरण:

यहाँ समतल x और y अक्षों को क्रमशः a और a प्रतिच्छेदित करता है और z-दिशा में फैला हुआ है।

समतल अंश [P, Q, R] = [a, a, ∞]

समतल अंश [P, Q, R] = [1, 1, ∞]

समतल अंशों के पारस्परिक:

\(\left[ {\frac{1}{P},\frac{1}{Q},\frac{1}{R} = \frac{1}{1},\frac{1}{1},\frac{1}{\infty }} \right]\)

[h, k, l] = [1, 1, 0]

संकल्पना:

क्रिस्टल-संरचनात्मक तल:

• यह एकक कोष्ठिका में स्थित तल होता है, क्रिस्टल-संरचनात्मक तलों को मिलर सूचकांक के संदर्भ में दर्शाया गया है। 
• एकल तल का प्रतिनिधित्व [xyz] है।
• एक तल की श्रेणी का प्रतिनिधित्व ={xyz} है। 

गणना:

दिया गया है:

अब, माना कि 'a' दिए गए घन की भुजा है तथा तल x और y - अक्ष के मध्य में एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित करता है।

इसलिए, तल भिन्न = \(\frac{a}{2}\), \(\frac{a}{2}\), ∞  हैं। 

तल भिन्न का व्युत्क्रम = \(\frac{2}{a}\), \(\frac{2}{a}\), 0 

व्युत्क्रम को न्यूनतम पूर्णांक को परिवर्तित करने के लिए a से गुणा करने पर

∴ मिलर सूचकांक = [220]

संकल्पना:

दिशा के मिलर सूचकांकों को ज्ञात करने के लिए, दिए गए दिशा वेक्टर को परिणामी मानिए और इसके घटक को x, y और z अक्ष में ज्ञात कीजिए। यदि घटक अंश में हैं, तो इसे पूर्णांक में परिवर्तित कीजिए।

गणना:

यहाँ घटक निम्न हैं

\(\left[ {\frac{1}{2}1\;0} \right]\)

अब,

किसी पूर्णांक में परिवर्तित करने के लिए

∴ मिलर सूचकांक [1 2 0] होगा

भ्रम बिंदु:

दिशा के मिलर सूचकांकों की गणना के लिए, व्युत्क्रम नहीं लिया जाता है, लेकिन तल का व्युत्क्रम इसे पूर्णांक के सबसे छोटे सेट में परिवर्तित करने से लिया जाता है।

संकल्पना:

मिलर सूचकांक:

• मिलर सूचकांक क्रिस्टलीय जालक में आणविक तल के अभिविन्यास के लिए सदिश का चित्रात्मक प्रतिनिधित्व है। 
• इसे भिन्नात्मक अन्तःखण्ड के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है जो क्रिस्टल-संरचनात्मक अक्षों के साथ तल बनाता है। 

1. प्रत्येक तीन क्रिस्टल-संरचनात्मक दिशाओं के साथ तल के अन्तःखण्ड को निर्धारित करना। 
2. अन्तःखण्ड का व्युत्क्रम लेना। 
3. भिन्न का ल.स. लेना और इसे अन्तःखण्ड के व्युत्क्रम से गुणा करना। 

गणना:

दिया गया है, 

तल का अन्तःखण्ड = (a, 2b, \( - \frac{{3c}}{2}\))

अन्तःखण्ड = (1, 2, \( - \frac{{3}}{2}\))

अन्तःखण्ड का व्युत्क्रम = 1, \( \frac{{1}}{2}\), \( - \frac{{2}}{3}\))

ल.स. = 6

तल का मिलर सूचकांक = ल.स. × अन्तःखण्ड का व्युत्क्रम 

∴ तल का मिलर सूचकांक = (6, 3, - 4)