Stress and Strain MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Stress and Strain - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

वर्णन:

दिया गया है, C पर P = 120 N 

बल निर्देशक आरेख

माना कि R_A और R_B निर्दिष्ट छोर A और B पर प्रतिक्रिया हैं। 

RA + R_B = P

चिन्ह संवहन: धनात्मक (तनाव), ऋणात्मक (संपीडन)

चूँकि बीम AB निर्दिष्ट है, इसलिए

Δ_AB = 0

Δ_AC + Δ_CB = 0

\(\frac{(P\ - \ R_B)L}{AE} \ +\ \frac{- R_B\times 2L}{AE} = 0\)

हल करने पर,

R_B = P/3 = 120/3 = 40 N

R_A = P - R_B = 120 - 40

R_A = 80 N

व्याख्या:

प्रतिबल:

• जब किसी बाहरी बल को किसी सामग्री पर लगाया जाता है तो वह विकृत हो जाती है।
• इस विरूपण के कारण, सामग्री में किसी निकाय के लंबवत समतल क्षेत्र पर एक आंतरिक प्रतिरोध बल विकसित होता है।
• प्रति इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्र की इस आंतरिक प्रतिरोध बल को प्रतिबल कहा जाता है।

\(\Rightarrow σ=\frac{P}{{A}}\)

जहाँ σ = प्रतिबल, P = अनुप्रयुक्त भार और A = अनुप्रस्थ काट-क्षेत्र

• इसका SI मात्रक N/m2 है।
• दबाव की विमा इस प्रकार दी गई है,

⇒ [σ] = [M1 L-1 T-2]

विकृति

• आयाम में परिवर्तन से मूल आयाम के अनुपात के रूप में विकृति को परिभाषित किया गया है।
• यदि लंबाई में ''δl' बदलता है और 'l' मूल लंबाई है, तो विकृति = δl/l
• इसलिए विकृति की इकाई mm/mm है।
• इसलिए विकृति की कोई इकाई नहीं है। इसलिए यह एक आयामहीन पद है।

संकल्पना:

बंकन सूत्र के अनुसार:

\(\frac{\sigma }{y} = \frac{M}{I} = \frac{E}{R}\)   

जहाँ

M = भार के कारण बंकन आघूर्ण, σ = बंकन प्रतिबल, E = प्रत्यास्थता मापांक,

R = वक्रता की त्रिज्या, y = उदासीन अक्ष से बाह्य फाइबर की दूरी

I उदासीन अक्ष के चारों ओर MOI है और यह निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(I = \frac{{b{d^3}}}{{12}}\)

गणना:

दिया गया है:

E = 2 × 105 N/mm2, R = 16 m = 16 × 103 mm, y = 8/2 = 4 mm

जैसा कि हम जानते हैं,

\(\frac{\sigma }{y} = \frac{E}{R}\)

\(\frac{\sigma }{{4}} = \frac{{2\; ×\; {{10}^5}}}{{16\; × \;{{10}^3}}} \Rightarrow \sigma = 50\;N/{mm^2}\)

∴ प्रेरित अधिकतम प्रतिबल= 50 N/mm²

अवधारणा:

एक तार की रस्सी में अक्सर समान व्यास और समान पदार्थ की ठोस छड़ की तुलना में अधिक भार वहन क्षमता होती है।
क्यों एक तार की रस्सी में अधिक भार वहन क्षमता होती है:
लचीलापन और भार वितरण:

• एक तार की रस्सी कई किस्में एक साथ मुड़ी हुई होती है। यह डिज़ाइन इसे किस्में में भार को समान रूप से वितरित करने की अनुमति देता है, स्थानीय तनाव को रोकता है और विफलता के जोखिम को कम करता है।

बंकन के तहत लचीलापन:

• तार की रस्सियाँ अधिक लचीली होती हैं और ठोस छड़ की तुलना में बंकन और गतिशील भार को बेहतर ढंग से सहन कर सकती हैं, जो बार-बार प्रतिबल या बंकन के तहत विफल होने का खतरा होता है।

सामर्थ्य-से-भार अनुपात:

• रस्सी में तारों की कुंडलित व्यवस्था एक ठोस छड़ की तुलना में अधिक सामर्थ्य-से-भार अनुपात प्रदान करती है। यह तार की रस्सियों को उन अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त बनाता है जिनमें सामर्थ्य और लचीलापन दोनों की आवश्यकता होती है।

अतिरेक:

• यदि रस्सी में कुछ तार विफल हो जाते हैं, तब भी शेष तार भार वहन कर सकते हैं। यह अतिरेक एक छड़ की तुलना में उच्च विश्वसनीयता सुनिश्चित करता है, जहाँ विफलता अक्सर विनाशकारी होती है।

संकल्पना:

RA और RB क्रमशः समर्थन  A और B में प्रतिक्रिया है

प्रणाली का मुक्त निकाय आरेख है:

\(R_A=\frac{Pb}{L}\;\&\;R_B=\frac{Pa}{L}\)

गणना:

दिया गया:

आकृति के अनुसार P = 10 kN, a = 1 m और b = 2 m।

\(R_A=\frac{Pb}{L}\)

\(R_A=\frac{10\times2}{3}=\frac{20}{3}\;kN\)

\(R_B=\frac{10\times1}{3}=\frac{10}{3}\;kN\)

स्पष्टीकरण:

विकृति ऊर्जा:

जब एक निकाय को क्रमिक, अचानक, या प्रभाव भार के अधीन किया जाता है, तो निकाय विरुपित हो जाता है और उस पर कार्य किया जाता है। यदि प्रत्यास्थ सीमा पार नहीं की जाती है, तो यह कार्य निकाय में संग्रहीत होता है। निकाय में संग्रहीत ऊर्जा या किए गए कार्य को विकृति ऊर्जा कहते हैं।

विकृति ऊर्जा  = किया गया कार्य

केस-I:

जब एक दृढ़ निकाय बहुत धीरे-धीरे दूसरे निकाय पर गिरा दिया जाता है, तो यह क्रमिक भारण का मामला है:

बार पर किया गया कार्य= भार -विरुपण के क्षेत्रफल का आरेख

बार में संग्रहित कार्य =प्रतिरोध विरुपण के क्षेत्रफल का आरेख

\(⇒\frac{1}{2}\;×\;R\;×\;δ l\)

\(⇒\frac{1}{2}\;×\;(\sigma\;×\;A)\;×\;δ l\;\;\;[\because R=\sigma A]\)

हम लिख सकते हैं;

\(⇒\frac{1}{2}\;×\;P\;×\;δ l=\frac{1}{2}\;×\;(\sigma\;×\;A)\;×\;δ l\)

\(\sigma_{gradual}=\frac{P}{A}\)

केस-II:

बार पर किया गया कार्य= भार -विरुपण के क्षेत्रफल का आरेख ⇒ P × δl

बार में संग्रहित कार्य =प्रतिरोध विरुपण के क्षेत्रफल का आरेख

\(⇒\frac{1}{2}\;×\;R\;×\;δ l\)

\(⇒\frac{1}{2}\;×\;(\sigma\;×\;A)\;×\;δ l\;\;\;[\because R=\sigma A]\)

हम लिख सकते हैं;

\(P\times\delta l=\frac{1}{2}\;×\;(\sigma\;×\;A)\;×\;δ l\)

\(\sigma_{sudden}=\frac{2P}{A}\)

\(\therefore \frac{\sigma_{sudden}}{\sigma_{gradual}}=2\)

∴ अचानक लागू भार के कारण अधिकतम प्रतिबल की तीव्रता क्रमिक रुप से लागू समान परिमाण के भार से उत्पन्न प्रतिबल की तीव्रता का दोगुना होती है।

संघट्ट भारण:

जब निकाय को भारित करने से पहले भार को ऊंचाई से गिरा दिया जाता है, तो ऐसे भारण को संघट्ट भारण के रूप में जाना जाता है।

स्थैतिक या क्रमिक भारण के कारण उत्पन्न प्रतिबल या विक्षेपण और संघट्ट भारण के कारण कारण उत्पन्न प्रतिबल या विक्षेपण के अनुपात को संघट्ट गुणक के रूप में जाना जाता है।

\(IF=\frac{\sigma_{impact}}{\sigma_{gradual}}=\frac{\Delta_{impact}}{\Delta_{gradual}}\)

\(IF=\frac{\sigma_{sudden}}{\sigma_{gradual}}=\frac{\Delta_{sudden}}{\Delta_{gradual}}=2\)

∴ अचानक भारण के कारण विक्षेपण क्रमिक भारण से दोगुना होता  है।

संकल्पना:

वास्तविक विकृति (ϵ_T) = ln (1 + ϵ)

गणना:

इंजीनियरिंग विकृति \((\epsilon) = 0.100\% = \frac{{0.100}}{{100}} \)

वास्तविक विकृति (ϵ_T) = ln (1 + ϵ)

\(\epsilon_T=\ln\left(1+\frac{0.100}{100}\right)=\ln \left(\frac{100.1}{100}\right)\;\)

∈T = 9.99500 × 10-4

∈T = 9.99500 × 10-4  × 100 = 0.099 %

Concept:

For a composite bar, the strain in both the bars will be the same i.e.

\(\epsilon=\frac{P}{AE}=\rm{constant}\)

Calculation:

Given:

A_Steel = A_Almunium = 3 cm² = 300 mm², E_steel = 3E_Al, P = 12000 N.

\(\epsilon=\frac{P}{AE}=\rm{constant}\)

Refer to the rough diagram for the given information,

Both the cross-section has the same area of 3 cm²

So, the area is also constant, therefore

\(\epsilon=\frac{P}{E}=\rm{constant}\)

\(⇒\frac{P_{Aluminium}}{E_{Aluminium}}=\frac{P_{Steel}}{E_{Steel}}\)

\(⇒\frac{P_{Steel}}{P_{Aluminium}}=\frac{E_{Steel}}{E_{Aluminium}}\)

\(⇒\frac{P_{Steel}}{P_{Aluminium}}=3\;\;\;[E_{steel}=3E_{Aluminium}]\)

P_steel = 3P_Aluminium

Total load acting is 12000 N, therefore;

P = P_steel + P_Aluminium ⇒ 12000 N

4P_Aluminium ⇒ 12000 N

P_Aluminum = 3000 N

P_steel = 9000 N

Stress is steel:

\(\sigma_{steel}=\frac{P_{steel}}{Area}\)

वर्णन:

प्वासों का अनुपात अनुप्रस्थ विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात होता है। 

\(\mu = - \frac{{{\epsilon_{(lateral)}}}}{{{\epsilon_{(longitudinal)}}}}\)

पूर्ण रूप से समानुवर्ती प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए प्वासों का अनुपात 0.25 है लेकिन अधिकांश पदार्थो के लिए प्वासों के अनुपात का मान 0 से 0.5 की सीमा में होता है। 

विभिन्न पदार्थो के लिए प्वासों का अनुपात निम्न है:

• कॉर्क: 0.0
• एल्युमीनियम: 0.31
• कच्चा लोहा: 0.21 – 0.26
• इस्पात: 0.27 – 0.30
• जंगरोधी इस्पात: 0.30 – 0.31
• तांबा: 0.33
• रबर: 0.5

कुछ पदार्थो के लिए प्रतिबल -विकृति वक्र:

Concept:

The stress is the ratio of the normal force acting on per unit area,

i.e. \(\sigma = \frac{P}{A}\)

Calculation:

Given:

d = 4 cm = 40 mm, P = 50 kN = 50 × 103 N.

\(\sigma = \frac{P}{A} = \frac{{4P}}{{\pi {d^2}}} = \frac{{4 × 50 × {{10}^3}}}{{\pi × {40^2{{}^{}}} }} \)

\(\sigma = 39.79 \; {}{N/mm^2}{{{}}} \approx 40\;N/mm^2\)

अवधारणा:

जब भी बार को अक्षीय तन्यता भार के अधीन किया जाता है, तो भार की दिशा में बार की लंबाई में वृद्धि होगी।

अनुदैर्ध्य विकृति को लागू बल की दिशा में बार की लम्बाई में वृद्धि से वास्तविक लम्बाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

\(Strain~=~\frac{Change~in~length}{Original~length}~=~\frac{\Delta L}{L}\)

गणना:

दिया गया है:

बेलना की लंबाई = L मीटर, विरूपण = l cm

विरूपण = ΔL

\(Strain= \frac{{{\rm{Δ }}L}}{L} \)

\(Strain= \frac{l}{L}\frac{{cm}}{m}\)

\(Strain= \frac{l}{{L \times 100}}\frac{{m}}{{\;m}}\)

\(Strain= \frac{0.01\ l}{L}\)

धारणा:

इंजीनियरिंग प्रतिबल: यह मूल अनुप्रस्थ-काट क्षेत्र पर लागू भार को विभाजित करके प्राप्त प्रतिबल है।

\({\sigma _e} = \frac{{load}}{{initial\;area}}\)

वास्तविक प्रतिबल: यह तात्कालिक अनुप्रस्थ-काट क्षेत्र पर लागू भार को विभाजित करके प्राप्त किया गया प्रतिबल है।

\({\sigma _t} = \frac{{load}}{{instantaneous\;area}}\)

इंजीनियरिंग विकृति: यह मूल आयाम के लिए आयाम में परिवर्तन का अनुपात है।

ϵ_e = \(\frac{{{\rm{\Delta }}L}}{L_0}\)

वास्तविक विकृति: यह तात्कालिक आयाम के तात्कालिक दीर्घिकरण का अनुपात है।

dϵ_t = \(\frac{{dL}}{L}\)

कुल वास्तविक विकृति का निम्न द्वारा निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

ϵ_t = \(\mathop \smallint \limits_{{L_o}}^{{L_f}} \frac{{dL}}{L}\)

गणना:

\(\begin{array}{l} {\varepsilon _T} = \mathop \smallint \limits_{{L_0}}^{{L_f}} \frac{{dL}}{L} = \ln \left[ {\frac{{{L_f}}}{{{L_0}}}} \right]\\ \Rightarrow {\varepsilon _T} = \ln \left[ {\frac{{{L_0} + \Delta L}}{{{L_0}}}} \right]\\ \Rightarrow {\varepsilon _T} = \ln \left[ {1 + \frac{{\Delta L}}{{{L_0}}}} \right]\\ \Rightarrow {\varepsilon _T} = ln\left[ {1 + {\varepsilon _E}} \right] \end{array}\)

वर्णन:

यंग का मापांक:

• किसी पदार्थ का छड़, तार इत्यादि जैसे रैखिक प्रत्यास्थ ठोस के इसके लम्बाई के संबंध में संपीडन या दीर्घीकरण का सामना करने के इसके यांत्रिक गुण को यंग के मापांक के रूप में जाना जाता है। 
• इसे प्रत्यास्थ मापांक या तन्य मापांक के रूप में भी जाना जाता है। 
• यह हमें किसी पदार्थ की तन्य प्रत्यास्थता (अक्ष के साथ विरूपित होने की क्षमता) के बारे में जानकारी प्रदान करता है। 

यंग मापांक के सूत्र को निम्न रूप में ज्ञात किया गया है,

\(E =\frac {Normal ~stress}{Normal ~strain}= \frac {\sigma}{\epsilon}\)

जहाँ E, Pa में यंग का मापांक है, 𝞂, Pa में एकाक्षीय प्रतिबल है, ε सामान्य विकृति या समानुपाती विरूपण है। 

रुक्षता का मापांक:

• इसे अपरूपण मापांक के रूप में भी जाना जाता है। 
• यह किसी पदार्थ का वह यांत्रिक गुण है जिसके कारण यह अपरूपण प्रतिबल का सामना और मरोड़ का प्रतिरोध करता है। 
• यह प्रत्यास्थ सीमा में अपरूपण प्रतिबल और संबंधित अपरूपण विकृति का अनुपात होता है। इसे G द्वारा दर्शाया गया है और इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है 

\(\therefore {G} = \frac{{Shear\;stress}}{{Shear\;strain}} = \frac{\tau }{\phi }\)

आयतन प्रत्यास्थता मापांक:

• यह किसी पदार्थ का वह यांत्रिक गुण है जिसके कारण यह सभी दिशाओं में बाहरी दबाव या बराबर प्रतिबल के कारण आयतन में परिवर्तन का विरोध करते हैं। 
• आयतन प्रत्यास्थता मापांक की संकल्पना का प्रयोग द्रवस्थैतिक भारण की स्थिति में किया जा सकता है। 
• इसे सामान्य प्रतिबल और आयतनी विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे 'K' द्वारा दर्शाया गया है तथा निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

\(K = \frac {Normal ~stress}{Volumetric ~strain}= \frac {\sigma }{\epsilon _v}\)

प्वासों अनुपात:

• जब निकाय अपने प्रत्यास्थ सीमा में भारित होती है, तो पार्श्व या अनुप्रस्थ विकृति तथा रैखिक या अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात स्थिरांक होता है। इसे प्वासों अनुपात के रूप में जाना जाता है। इसे निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

\({\rm{μ }} = \frac{{{-\rm{Lateral\;strain}}}}{{{\rm{Linear\;strain}}}}\)

Additional Information

यंग का मापांक (E), अपरूपण मापांक (G), थोक मापांक (K) और प्वासों अनुपात(μ) के बीच संबंध  

• E = 2G (1 + μ) 
• E = 3K (1 – 2μ)
• \({\bf{E}} = \frac{{9{\bf{KG}}}}{{3{\bf{K}}~ + \;{\bf{G}}}}\)
• \({\bf{\mu }} = \frac{{3{\bf{K}}~ - ~2{\bf{G}}}}{{2{\bf{G}} ~+ ~6{\bf{K}}}}\)