Time Response Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Time Response Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

समय स्थिरांक \(\tau = \frac{{ - 1}}{{{\rm{real\ part\ of\ Dominant\ pole}}}}\)

गणना:

\(40\frac{{dx}}{{dt}} + 2x = f\left( t \right)\)

लाप्लास रूपांतर लेने पर हम प्राप्त करते हैं

40 s X(s) + 2X(s) = 12(s)

\(\frac{{X\left( s \right)}}{{F\left( s \right)}} = \frac{1}{{40s + 2}}\)

\( = \frac{1}{{40\left( {s + \frac{1}{{20}}} \right)}}\)

ध्रुव -1/20 पर होगा।

समय स्थिरांक \( = \frac{1}{{pole}} = 20\)

संकल्पना:

KP = स्थिति त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)H\left( s \right)\)

Kv = वेग त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sG\left( s \right)H\left( s \right)\)

Ka = त्वरण त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^2}G\left( s \right)H\left( s \right)\)

विभिन्न इनपुट के लिए स्थिर-अवस्था त्रुटि को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

उपरोक्त तालिका से यह स्पष्ट है कि प्रकार- 1 प्रणाली के लिए, प्रणाली चरण-इनपुट के लिए शून्य स्थिर-अवस्था त्रुटि दर्शाता है। 

संकल्पना:

प्रणाली की आउटपुट प्रतिक्रिया प्राकृतिक प्रतिक्रिया और प्रणोदित प्रतिक्रिया के योग के बराबर होती है।

प्रणोदित प्रतिक्रिया: इनपुट फलन के ध्रुव के कारण उत्पन्न प्रतिक्रिया को मजबूर प्रतिक्रिया कहा जाता है।

प्राकृतिक प्रतिक्रिया: प्रणाली फलन के ध्रुव के कारण उत्पन्न प्रतिक्रिया को प्राकृतिक प्रतिक्रिया कहा जाता है।

गणना:

आउटपुट y(s) निम्न के रूप में दिया गया है

\(y\left( s \right) = \frac{{G\left( s \right)}}{s} = \frac{{3 - s}}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 3} \right)}}\)

आंशिक भिन्नों में परिवर्तित करना

\(y\left( s \right) = \frac{{3 - s}}{{s\left( {s + 1} \right)\left( {s + 3} \right)}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{{\left( {s + 1} \right)}} + \frac{C}{{\left( {s + 3} \right)}}\)

संपूर्ण समीकरण LHS और RHS को s से गुणा करें और s = 0 रखें

A = 1

पूरे समीकरण को (s + 1) से गुणा करें और s = -1 डालें

B = -2

जिसका समीकरण (s + 3) से गुणा करें और s = -3 डालें

C = 1

\(y\left( s \right) = \frac{1}{s} - \frac{2}{{s + 1}} + \frac{1}{{s + 3}}\)

ILT लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

संकल्पना:

KP = स्थान त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)H\left( s \right)\)

Kv = वेग त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sG\left( s \right)H\left( s \right)\)

Ka = त्वरण त्रुटि स्थिरांक = \(\mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^2}G\left( s \right)H\left( s \right)\)

विभिन्न इनपुट के लिए स्थिर अवस्था त्रुटि को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

उपरोक्त तालिका से यह स्पष्ट है कि प्रकार-1 की प्रणाली के लिए प्रणाली चरण-इनपुट के लिए शून्य स्थिर-अवस्था त्रुटि, रैंप इनपुट के लिए सीमित स्थिर-अवस्था त्रुटि और परवलयिक इनपुट के लिए \(\infty \) स्थिर-अवस्था त्रुटि को दर्शाता है।

गणना:

\(G\left( s \right) = \frac{{10\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}{{s\left( {s + 3.5} \right)\left( {s + 2.5} \right)}}\)

वेग त्रुटि गुणांक,\({K_v} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} s\frac{{10\left( {s + 2} \right)\left( {s + 3} \right)}}{{s\left( {s + 3.5} \right)\left( {s + 2.5} \right)}} = \frac{{60}}{{8.75}}\)

\({e_{ss}} = \frac{{15}}{{\frac{{60}}{{8.75}}}} = 2.1875\)

मानक द्वितीय कोटि वाली प्रणाली को \(\frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\xi {\omega _n}s + \omega _n^2}}\) द्वारा ज्ञात किया गया है। 

जहाँ ξ अवमंदन अनुपात है। 

यदि ξ = 1 है, तो प्रणाली क्रांतिक रूप से अवमंदित है। 

यदि ξ < 1 है, तो प्रणाली अधःअवमंदित है। 

यदि ξ > 1 है, तो प्रणाली कोटि अवमंदित है। 

\(P:\frac{{15}}{{{s^2} + 5s + 15}}\)

मानक द्वितीय कोटि वाले स्थानांतरण फलन से तुलना करने पर,

ω_n² = 15 ⇒ ω_n = √15

\(2\xi {{\rm{\omega }}_n} = 5 \Rightarrow \xi = \frac{5}{{2\sqrt {15} }} < 1\)

इसलिए, यह अधःअवमंदित प्रणाली है। 

\(Q:\frac{{25}}{{{s^2} + 10s + 25}}\)

ω_n² = 25 ⇒ ω_n = 5

2 ξ ω_n = 10 ⇒ ξ = 1

इसलिए, यह क्रांतिक रूप से अवमंदित प्रणाली है।

 \(R:\frac{{35}}{{{s^2} + 18s + 35}}\)

ω_n² = 35 ⇒ ω_n = √35

\(2\xi {{\rm{\omega }}_n} = 18 \Rightarrow \xi = \frac{9}{{\sqrt {35} }} > 1\)

अवधारणा:

एक द्वितीयक क्रम प्रणाली की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति को निम्न द्वारा दिया जाता है

\({ω _d} = {ω _n}\sqrt {1 - {\xi ^2}} \)

जहाँ,

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

ζ = अवमंदन अनुपात

गणना:

दिया हुआ-

ωn = 11 rad/sec

ζ = 0.6

अब, प्राकृतिक अवमंदित आवृत्ति की गणना इस प्रकार की जा सकती है

\({ω _d} = {11}\sqrt {1 - {(0.6)^2}} \)

ωd = 11 x 0.8

ωd = 8.8 rad/sec 

स्थायीकरण समय:

यह स्थिर अवस्था (या) अंतिम मान तक पहुंचने और अंतिम मान के आसपास विशिष्ट सहिष्णुता बैंड के भीतर रहने के लिए प्रतिक्रिया के लिए आवश्यक समय है।

यह निम्नलिखित की मदद से समझाया गया है:

5% सहिष्णुता बैंड के लिए स्थायीकरण समय को निम्न द्वारा दिया गया है:

\({t_s} = \frac{3}{{\zeta {\omega _n}}} = 3T\)

इसी तरह, 2% सहिष्णुता के लिए, स्थायीकरण समय को निम्न द्वारा दिया गया है: है:

\({t_s} = \frac{4}{{\zeta {\omega _n}}} = 4T\)

ζ = अवमंदित अनुपात

ωn = प्राकृतिक आवृत्ति

समय-डोमेन विनिर्देश (या) क्षणिक प्रतिक्रिया पैरामीटर:

उत्थानकाल (t­r): यह प्रतिक्रिया द्वारा 0% से 100% तक पहुंचने में लिया गया समय होता है, सामान्यतौर पर अतिअवमन्दित के लिए 10% से 9% और क्रांतिक रूप से अवमंदित के लिए 5% से 95% तक प्रणाली परिभाषित होती है।

\(c\left( t \right){\left. \right|_{t = {t_r}}} = 1 = 1 - \frac{{{e^{ - \xi {\omega _n}{t_r}}}}}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}\sin \left( {{\omega _n}{t_r} + \varphi } \right)\)

\({t_r} = \frac{{\pi - \varphi }}{{{\omega _d}}}\)

शीर्ष समय​ (tp): यह प्रतिक्रिया द्वारा अधिकतम मान तक पहुंचने में लिया गया समय होता है।

\({\left. {\frac{{dc\left( t \right)}}{{dt}}} \right|_{t = {t_p}}} = 0,{\text{}}{t_p} = \frac{\pi }{{{\omega _d}}}\)

विलंब समय (td): यह प्रतिक्रिया द्वारा अपने अंतिम या स्थिर-अवस्था के मान को 0 से 50% तक परिवर्तित करने के लिए लिया गया समय होता है।

\(c\left( t \right){\left. \right|_{t = {t_d}}} = 0.5\)

\({t_d} \simeq \frac{{1 + 0.7\xi }}{{{\omega _n}}}\)

अधिकतम (या) शीर्ष अतिक्रमण (Mp): यह O/P पर अधिकतम त्रुटि होती है।

\({M_p} = c\left( {{t_p}} \right) - 1,\;{M_p} = e^ \left( {\frac{{-\xi \pi }}{{\sqrt {1 - {\xi ^2}} }}} \right)\)

\(\% {M_p} = \frac{{c\left( {{t_p}} \right) - c\left( \infty \right)}}{{c\left( \infty \right)}} \times 100\% \)

यदि इनपुट का परिमाण दोगुना हो जाता है, तो स्थिर-अवस्था मान दोगुना हो जाता है, इसलिए Mp दुगना है, लेकिन% Mp, tr, tp स्थिर रहता है।

संकल्पना:

मानक द्वितीय कोटि वाली प्रणाली का स्थानांतरण फलन निम्न है:

\(TF = \frac{{C\left( s \right)}}{{R\left( s \right)}} = \frac{{\omega _n^2}}{{{s^2} + 2\zeta {\omega _n}s + \omega _n^2}}\)

ζ अवमंदन अनुपात है। 

ωn अन्देंप्त प्राकृतिक आवृत्ति है। 

विशेषता समीकरण: \({s^2} + 2\zeta {\omega _n} + \omega _n^2 = 0\)

विशेषता समीकरण के मूल निम्न हैं: \(- \zeta {\omega _n} + j{\omega _n}\sqrt {1 - {\zeta ^2}} = - \alpha \pm j{\omega _d}\)

α अवमंदन कारक है। 

• ζ = 0, प्रणाली अन्देंप्त है। 
• ζ = 1, प्रणाली क्रांतिक रूप से अवमंदित है। 
• ζ < 1, प्रणाली अधःअवमंदित है। 
• ζ > 1, प्रणाली अतिअवमंदित है। 

धारणा:

मानक द्वितीय कोटि प्रणाली का विशेषता समीकरण इसके द्वारा दिया गया है

s² + 2ξ ω_n s + ω²_n = 0

प्रणाली को निम्न कहा जाता है

• अनवमंदित यदि ξ = 0
• क्रांतिक रुप से अवमन्दित यदि ξ = 1
• अधोअवमंदित यदि ξ < 1
• अतिअवमंदित यदि ξ > 1

गणना:

\(G\left( s \right)=\frac{9}{{{s}^{2}}+6s+9}\)

विशेषता समीकरण: s² + 6s + 9 = 0

मानक द्वितीय कोटि प्रणाली के साथ तुलना करके,

\(\omega _{n}^{2}=9\Rightarrow {{\omega }_{n}}=3\)

2ζ ω_n = 6 ⇒ 2 × ζ × 3 = 6

⇒ ζ = 1

अवधारणा:

DC लाभ:

DC लाभ स्थिर-अवस्था चरण प्रतिक्रिया के परिमाण से स्टेप इनपुट के परिमाण का अनुपात है।

एक प्रणाली का DC लाभ स्थिर अवस्था में लाभ है जो अनंत के लिए टेंडिंग पर है यानी, शून्य के लिए टेंडिंग है।

DC लाभ गुणांक के अलावा कुछ भी नहीं है।

प्रकार 0 प्रणाली के लिए: \({K_P} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)\)

प्रकार 1 प्रणाली के लिए: \({K_v} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} sG\left( s \right)\)

प्रकार 2 प्रणाली के लिए: \({K_a} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} {s^2}G\left( s \right)\)

विभिन्न इनपुट के लिए स्थिर स्थिति त्रुटि निम्न द्वारा दी जाती है

गणना:

दिया हुआ:

\(G(s)=\frac{s+1}{s^2+s+1}\)

यह एक प्रकार 0 प्रणाली है, इसलिए:

\({K_P} = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} G\left( s \right)\)

Kp = 1 = DC लाभ

इकाई चरण इनपुट के लिए स्थिर-स्थिति त्रुटि इस प्रकार दी गई है:

\(e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}\)

ess = 0.5