खंडांचे प्रमेय MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Theorem on Segments - मोफत PDF डाउनलोड करा

वापरलेली संकल्पना:

केंद्र कोन हा प्रमुख कोनाच्या दुप्पट आहे

चक्रीय चतुर्भुजामध्ये विरुद्ध कोनाची बेरीज 180° असते

गणना:

∠POR = 2 × ∠PSR

⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180° 

⇒ ∠PQR + 75° = 180°

⇒ ∠PQR = 105°

∴ योग्य उत्तर 105° आहे.

वापरलेली संकल्पना:

PA × PB = PC × PD

गणना:

PA × PB = PC × PD

⇒ 10 × 22 = 11 × PD

PD = = 20

∴ योग्य उत्तर 20 आहे

संकल्पना:

मध्यभागी कमानीने जो कोन तयार केला आहे तो कोन त्याच्या कडांवर लावलेल्या कोनाच्या दुप्पट आहे.

म्हणून, ∠AOB = 2 × ∠ACB

गणना:

आकृतीमध्ये, ∠AXC = 120º ÷ 2 = 60º

चतुर्भुज AXCB हा चक्रीय चौकोन आहे आणि म्हणून, चक्रीय चौकोनाचा बाह्य कोन चौकोनाच्या विरुद्ध आतील कोनाइतका असतो.

⇒ ∠MBC = ∠AXC = 60º

∴ ∠MBC चे माप 60º आहे.

दिलेले:

∠CBD = 90°

∠BDA = 30°

संकल्पना:

समद्विभुज त्रिकोण: समद्विभुज त्रिकोण हा असा त्रिकोण असतो ज्याच्या दोन बाजू समान लांबीच्या असतात.

समद्विभुज त्रिकोणातील समान बाजूंचा संबंधित कोन समान असतो.

त्रिकोणाच्या सर्व आतील कोनांची बेरीज 180° असते.

गणना:

ΔBCD मध्ये,

BC = BD

∠BCD = ∠BDC (समद्विभुज त्रिकोणातील समान बाजूंचा संगत कोन समान असतो)

⇒ ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180° (त्रिकोणाच्या सर्व आतील कोनांची बेरीज 180° आहे.)

⇒ 2∠BCD + 90° = 180°

⇒ 2∠BCD = 90°

⇒ ∠BCD = 45°.....(१)

ΔABD मध्ये,

AB = BD

∠BAD = ∠BDA = 30° (समद्विभुज त्रिकोणातील समान बाजूंचा संगत कोन समान असतो)

∠BAD + ∠BDA + ∠ABD = 180° (त्रिकोणाच्या सर्व आतील कोनांची बेरीज 180° आहे)

⇒ 30° + 30° + ∠ABD = 180°

⇒ ∠ABD = 180° - 60°

⇒ ∠ABD = 120° ....(2)

समीकरण (1) आणि (2) वरून

∠ABD - ∠BCD

⇒ 120° - 45° = 75°

∴ ∠ABD - ∠BCD = 75°

दिलेले आहे:

चक्रीय-चौकोन WXYZ च्या W आणि Y या बिंदूवर P या बिंदूपासून वर्तुळावर स्पर्शिकेची जोडी काढली आहे.

∠WPY = 60∘

वापरलेली संकल्पना:

समान लांबीच्या बाजूच्या संमुख असलेले दोन कोन हे एकरूप असतात.

जर AB = AC, तर ∠ABC = ∠ACB

एकांतर वृत्तखंड प्रमेयानुसार,

वरील आकृतीनुसार, स्पर्शिका आणि जीवा यांच्यातील कोन (θ) हा एकांतर वृत्तखंडातील कोनाच्या (θ) समान असेल.

P या सामाईक बिंदूतून वर्तुळावरील A आणि B बिंदूत काढलेल्या स्पर्शिकेची जोडी,

मग, PA = PB (बाह्य बिंदूतून वर्तुळावर काढलेल्या स्पर्शिकेची लांबी समान असते)

गणना:

प्रश्नानुसार, आवश्यक आकृती:

सपर्शिकांची लांबी समान आहे,

म्हणून, 

∠PWY = ∠PYW

ΔPWY मध्ये,

∠WPY + ∠PWY + ∠PYW = 180∘

⇒ 60^∘ + 2∠PWY = 180∘

⇒ ∠PWY = ∠PYW = 60∘

एकांतर वृत्तखंड प्रमेयानुसार,

∠PWY = ∠PYW = ∠WZY =  60∘

चक्रिय चौकोनांच्या संमुख कोनांची बेरीज = 180,

म्हणून, 

∠WZY + ∠WXY = 180∘

⇒  60∘ + ∠WXY = 180∘

⇒ ∠WXY = 120∘

आवश्यक आकृती,

∴ ∠WXY चे मूल्य 120∘ असेल. 

प्रमेय वापरून, अर्धवर्तुळातील कोन काटकोन असतो,

⇒ ∠BOA = 90°

प्रमेय: पर्यायी खंड प्रमेय असे सांगते की स्पर्शिका आणि जीवा यांच्यातील संपर्क बिंदूद्वारे असलेला कोन पर्यायी विभागातील कोनाइतका असतो.

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABO मध्ये,

त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असते

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°

दिलेले आहे:

∠AOC = 110°

∠AOB = 90°

वापरलेली संकल्पना:

केंद्रावर कंसाने केलेला आंतरित कोन हा वर्तुळाच्या परिघाने केलेल्या कोनाच्या दुप्पट असतो.

बिंदूभोवतीचा कोन नेहमी 360° असतो.

गणना:

∠AOC = 110°

∠AOB = 90°

बिंदूभोवतीचा कोन नेहमी 360° असतो.

∠BOC = 360° - (∠AOC + ∠AOB)

⇒ ∠BOC = 360° - (110° + 90°)

⇒ ∠BOC = 160°

आता,

∠BAC = ∠BOC/2

∠BAC = 160°/2

∠BAC = 80°

∴ x चे मूल्य 80° आहे.

Alternate Method

त्रिकोण AOC मध्ये,

OC = OA (वर्तुळाची त्रिज्या)

म्हणून, या बाजूंच्या विरुद्ध असलेले कोन समान असतील. (∠OCA = ∠OAC)

समजा ∠OCA आणि ∠OAC हे y आहे

110 + 2y = 180

2y = 70

y = 35

त्रिकोण AOB मध्ये 

OA = OB (वर्तुळाची त्रिज्या)

म्हणून, या बाजूंच्या विरुद्ध असलेले कोन समान असतील. (∠OAB = ∠OBA)

समजा ∠OAB आणि ∠OBA हे z आहे

90 + 2z = 180

2z = 90

z = 45

म्हणून, 'x' चे मूल्य (y + z) = 35 + 45 = 80 आहे.

∠OPT = 90° [∵ त्रिज्या स्पर्शिकेला लंब आहे]

∠OPQ = 90° - ∠QPT = 90° - α

∠OQP = 90° - α [∵ OQ = OP]

त्रिकोण OQP मध्ये,

∠O + ∠Q + ∠P = 180°

∠O + 90 - α + 90 - α = 180

∴ ∠O = 2α

दिलेली माहिती, AB ∶ BC = 4 ∶ 5

⇒ BC  = (5/4) × AB 

∵ AC = AB + BC  

⇒ AC = AB + (5/4) × AB = (9/4) × AB

टॅन्जेन्ट-कोसाइन प्रमेय लागू केल्यास, टॅन्जंट आणि कोसाइन खालील प्रमाणे संबंधित आहेत,

⇒ AD2 = AB × AC

⇒ AD2 = (9/4) × AB2

⇒ AD/AB = √(9/4) = 3/2

∴ AD ∶ AB = 3 ∶ 2

या आकृतीत

PB = x समजू 

छेदिकेच्या गुणधर्मानुसार

PB × PA = PD × PC               [PC = PD + CD]

x × 15 = 6 × 10 

x = 4 = PB

AB = 15 - 4 = 11 सेमी

आपल्याला माहित आहे की,

AO × OB = OC × OD

⇒ (9x – 2) × (2x + 2) = (4x) × (7x – 2)

⇒ 18x2 – 4x + 18x – 4 = 28x2 – 8x

⇒ 10x2 – 22x + 4 = 0

⇒ 10x2 – 20x – 2x + 4 = 0

⇒ 10x(x – 2) – 2(x – 2) = 0

⇒ (x – 2)(10x – 2)  = 0

⇒ x = 2 or x = 0.2

⇒ x = 2

AO = (9x – 2) = (18 – 2) = 16 सेमी

∴ AO चे मूल्य 16 सेमी आहे.

पर्यायी खंड प्रमेयानुसार, स्पर्शबिंदूवर स्पर्शिका आणि जीवा यांच्यामध्ये तयार होणारा कोन वर्तुळाच्या पर्यायी भागामध्ये जीवेद्वारे तयार झालेल्या कोनासमान असतो.

दिलेल्या आकृतीमध्ये,

⇒ ∠APQ = ∠QRP = 35°

आपणास माहीत आहे की, वर्तुळाच्या मध्यभागी कमानीच्या आंतरित कोन हा वर्तुळावरील इतर कोणत्याही बिंदूवर कमानीद्वारे केलेल्या कोनाच्या दुप्पट असतो.

⇒ ∠QOP = 2 × ∠QRP = 2 × 35° = 70°

आता, ΔOQP हे विचारात घेतल्यानंतर,

∵ OQ = OP = वर्तुळाची त्रिज्या

⇒ ΔOQP हा समद्विभुज त्रिकोण आहे.

⇒ ∠OQP = ∠OPQ

∵ त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज = 180°

⇒ ∠QOP + ∠OQP + ∠OPQ = 180°

∴ ∠OQP = (180° – 70°)/2 = 110°/2 = 55°

दिलेल्याप्रमाणे,

⇒ ∠RPO = 30°

⇒ ∠RPQ = 2∠RPO = 60°

तर,

⇒ ∠RPQ = 1/2 x ∠QOR

⇒ ∠QOR = 120°

मग,

QR विभागाचे क्षेत्रफळ

= सेक्टर QRO चे क्षेत्रफळ - ΔQOR चे क्षेत्रफळ

क्षेत्राचे क्षेत्रफळ = (θ/360°) x πr ²

जेथे θ हा कोन तयार होतो आणि r ही त्रिज्या आहे

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ =1/2 × a × b × sin θ 

जेथे a, b या बाजू आहेत आणि θ हा त्यांच्यामधील कोन आहे

= (120/360) x 22/7 x 7 x 7 - (7 x 7/2) x sin120°

= 51.33 - 21.21 = 30.12 चौ.युनिट

AE हा ∠CAB चा कोन दुभाजक आहे.

⇒ ∠EAB = ∠CAE

तसेच ∠CBA = ∠CEA (वर्तुळावरील जीवा AC द्वारे जोडलेले कोन)

⇒ ∆AEC ~ ∆ABD

⇒ AC/AE = AD/AB = 4/7

⇒ AD : AB = 4 : 7

मध्यभागी जोडणारी रेषा सामान्य जीवेला लंब असेल आणि ती दुभाजक असेल.

ΔNPR आणि ΔNQR मध्ये

NP = NQ (त्रिज्या)

NR सामाईक आहे

∠PNR = ∠QNR [∵ NP आणि NQ या मोठ्या वर्तुळाच्या स्पर्शिका आहेत]

∴ त्रिकोण एकरूप आहेत

ΔMNP काटकोन त्रिकोण आहे. कारण बाजू पायथागोरसचे त्रिकूट आहेत म्हणजेच 12² + 9² = 15²

ΔMNP चे क्षेत्रफळ = 1/2 × MN × PR = 1/2 × MP × NP

⇒ MN × PR = MP × NP

⇒ 15 × PR = 12 × 9

PR = 7.2 सेमी

PQ = 2 × PR = 14.4 सेमी