वर्तूळ, जीवा आणि स्पर्शिका MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Circles, Chords and Tangents - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

जीवेची लांबी 16 सेमी आणि त्रिज्या 10 सेमी आहे.

वापरलेली संकल्पना:

वर्तुळाची त्रिज्या वर्तुळाच्या जीवेला लंबदुभाजित करते.

वापरलेला सूत्र:

काटकोन त्रिकोणात, पायथागोरस प्रमेयानुसार

(कर्ण)² = (लंब)² + (पाया)² 

गणना:

समजा दोन जीवा AB = 16 सेमी आहेत

वर्तुळाची त्रिज्या लंबदुभाजित होते म्हणून,

AL = BL = 16/2 = 8 सेमी

Δ AOL मध्ये, ∠ALO = 90°

⇒ (AO)2 = (OL)2 + (AL)2

⇒ 102 = (OL)2 + (8)2

⇒ (OL)2 = 100 - 64 = 36

⇒ OL = 6 सेमी

म्हणून, वर्तुळाच्या केंद्रापासून त्या जीवेचे अंतर 6 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिज्या (r) = 17 सेमी

केंद्रापासून जीवेचे अंतर (d) = 15 सेमी

वापरलेले सूत्र:

जीवेची लांबी = 2√(r² - d²)

गणना:

जीवेची लांबी = 2√(17² - 15²)

⇒ जीवेची लांबी = 2√(289 - 225)

⇒ जीवेची लांबी = 2√64

⇒ जीवेची लांबी = 2 × 8

⇒ जीवेची लांबी = 16 सेमी

म्हणूनच योग्य उत्तर पर्याय (4) आहे.

दिलेले आहे:

AC ही एका वर्तुळाची जीवा आहे.

∠AXC = 58°

वापरलेले सूत्र:

वर्तुळाच्या एकाच काटकोनावर एकाच खंडावर बनलेले कोन समान असतात.

तसेच, ∠AXC = ∠AYC

आपल्याला 2∠AYC शोधायचे आहे.

गणना:

दिलेले आहे, ∠AXC = 58°

जसे ∠AXC = ∠AYC

∠AYC = 58°

आपल्याला 2∠AYC शोधायचे आहे,

2∠AYC = 2 × 58°

2∠AYC = 116°

116° हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

वर्तुळ 1 ची त्रिज्या (r₁) = 28 सेमी

वर्तुळ 2 ची त्रिज्या (r₂) = 20 सेमी

केंद्रबिंदूंमधील अंतर (d) = 50 सेमी

वापरलेले सूत्र:

अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकाची लांबी = √(d² - (r₁ + r₂)²)

गणना:

अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकेची लांबी = √(50² - (28 + 20)²)

⇒ √(50² - 48²) = √(2500 - 2304) = √196 = 14 सेमी

∴ अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकेची लांबी 14 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन समकेंद्रित वर्तुळांचे व्यास: 34 सेमी आणि 50 सेमी.

CAPF ही एक सरळ रेषा आहे, AP = 16 सेमी.

C, F मोठ्या वर्तुळावर आहेत; A, P लहान वर्तुळावर आहेत.

वापरलेले सूत्र:

पायथागोरसचे प्रमेय:

कर्ण² = लंब² + पाया²

केंद्रापासून लंब जीवा दुभाजक करतो.

गणना:

लहान वर्तुळाची त्रिज्या = 34 ÷ 2 = 17 सेमी

मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या = 50 ÷ 2 = 25 सेमी

AP = 16 सेमी

AP दुभाजक आहे: AO = 16 ÷ 2 = 8 सेमी

ΔOAP₁ मध्ये :

OA2 + OP12 = AP12

⇒ 172 = OP12 + 82

⇒ OP12 = 289 - 64

⇒ OP12 = 225

⇒ OP1 = 15 सेमी

ΔOP₁ F मध्ये:

OF2 = OP12 + P1F2

⇒ 252 = 152 + P1F2

⇒ P1F2 = 625 - 225

⇒ P1F2 = 400

⇒ P1F = 20 सेमी

CF = 2 x P ₁ F = 2 x 20 = 40 सेमी

∴ CF ची लांबी 40 सेमी आहे.

संकल्पना:

त्रिज्या स्पर्शबिंदूवर स्पर्शिकेला लंब असते

चतुर्भुजाच्या सर्व कोनांची बेरीज = 360°

गणना:

PA आणि PB या बाह्य बिंदू P पासून वर्तुळाकडे काढलेल्या स्पर्शिका आहेत.

∠OAP = ∠OBP = 90°  (त्रिज्या स्पर्शबिंदूवर स्पर्शिकेला लंब असते)

आता, चतुर्भुज OAPB मध्ये,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

अशा प्रकारे, दोन त्रिज्या, OA आणि OB मधील कोन 105° आहे.

आपल्याला माहीत आहे,

थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = √[d² - (R - r)²]

जेथे d हे केंद्रांमधील अंतर आहे आणि R आणि r या वर्तुळांच्या त्रिज्या आहेत.

PQ = √[(R + r)² - (R - r)²]

⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ² = 4Rr

दिलेले आहे:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 आणि AB = x

वापरलेले सूत्र:

LC × LD = LB × AL

गणना:

प्रश्नानुसार

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ AB ची लांबी 21.5 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

वापरलेले सूत्र:

दोन जीवा AB आणि CD बिंदू X वर छेदत असल्यास.

तर, AX × XB = CX × XD

गणना:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

म्हणून, k चे मूल्य 4 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

\(∠ ARS = 125^\circ\)

संकल्पना:

अर्धवर्तुळात बनवलेला कोन काटकोन असतो.

वर्तुळाच्या समान खंडात तयार होणारे कोन मोजमापाने समान असतील.

गणना:

B आणि R ला जोडून BR तयार होतो.

∠ARS + ∠ARP = 180°  [रेषीय जोडी]

⇒ ∠ARP = 180° - 125° = 55° 

∠ARB = 90°    [अर्धवर्तुळात बनवलेला कोन] 

⇒ ∠ARP + ∠BRP =  90° 

⇒ ∠BRP = 90° - 55° = 35° 

∠BRP = ∠PAB = 35°  [कोन समान विभागात केले]

∴ ∠PAB = 35°

दिलेल्यानुसार:

AB = 4 सेमी आणि BC = 5 सेमी

संकल्पना:

स्पर्शिकाखंड प्रमेय: जर स्पर्शिका आणि छेदिका वर्तुळाच्या बाहेर एका सामाईक बिंदूवर छेदत असतील, तर तयार झालेल्या विभागांचा दोन छेदिका किरणांशी समान संबंध असतो.

⇒ AD² = AB (AB + BC)      

गणना:

स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय वापरून, आपल्याकडे आहे,

AD2 = AB (AB + BC)     

⇒ AD2 = 4 (4 + 5)

⇒ AD2 = 36

⇒ AD = 6 सेमी

दिलेल्याप्रमाणे:

∠BAC = 60°

वापरलेली संकल्पना:

एका वर्तुळाच्या मध्यभागी असलेल्या लंबाद्वारे जोडलेला कोन वर्तुळाच्या उर्वरित भागावरील कोणत्याही बिंदूने जोडलेला कोन दुप्पट असतो.

गणना:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

⇒ ∠BQR = ७०° (दिलेले)

⇒ ∠BQR = ∠QBA = 70° (पर्यायी आतील कोन)

⇒ ∠BQR = ∠QAB = 70° (पर्यायी सेगमेंट प्रमेय)

ΔAQB मध्ये

⇒ ∠AQB + ∠QAB + ∠QBA = 180°

⇒ ∠AQB + 70° + 70° = 180°

⇒ ∠AQB = 180° - 140° = 40°

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन्ही वर्तुळांची त्रिज्या 12 सेमी आणि 8 सेमी आहे

दोन्ही वर्तुळे A बिंदूवर एकमेकांना बाहेरून स्पर्श करतात

MN ही दोन्ही वर्तुळांची सामाईक स्पर्शिका आहे.

गणना:

प्रश्नानुसार,

समजा वर्तुळांची केंद्रे अनुक्रमे P आणि Q आहेत.

P ला Q आणि M सह जुळवा. Q ला N सह जुळवा. PT ⊥ QN काढा.

आता PT = MN, कारण त्या PTNM या आयताच्या विरुद्ध बाजू आहेत.

⇒ PQ = त्रिज्या 1 + त्रिज्या 2

⇒ PQ = 12 सेमी + 8 सेमी

⇒ 20 सेमी.

आणि, QT = QN – NT {जसे, PM = NT = 8 सेमी}

⇒ QT = 12 सेमी – 8 सेमी

⇒ QT = 4 सेमी

आता, काटकोन ∆ PQT मध्ये, आपल्याकडे आहे:

 PT = √ {(PQ)2 - (QT)2 }

⇒ PT = √ {(20)2 - (4)2 }

⇒ PT = √ 384 

⇒ PT = 8√6 

∴ MN ची लांबी = PT = 8√6 सेमी 

Shortcut Trick

वापरलेले सूत्र:

थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी, जेव्हा 2 वर्तुळे बाहेरून स्पर्श करत असतात,

⇒ \(\sqrt{{d^2-(R - r)^2}} \)

जेथे D हे 2 केंद्रांमधील अंतर आहे

R आणि r वर्तुळांच्या 2 त्रिज्या आहेत

गणना:

सूत्र वापरून, आपणास मिळते

⇒ \(\sqrt{{{{20^2-(12 - 8)^2}}}}\)

⇒ √384 = 8√6

∴ MN ची लांबी = PT = 8√6 सेमी 

प्रमेय वापरून, अर्धवर्तुळातील कोन काटकोन असतो,

⇒ ∠BOA = 90°

प्रमेय: पर्यायी खंड प्रमेय असे सांगते की स्पर्शिका आणि जीवा यांच्यातील संपर्क बिंदूद्वारे असलेला कोन पर्यायी विभागातील कोनाइतका असतो.

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABO मध्ये,

त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असते

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°