एक कण मूल बिंदु के चारों ओर एक बंद कक्षा में गति करता है, एक बल के कारण जो मूल बिंदु की ओर निर्देशित होता है। कण का डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य  λ₁ > λ₂ के साथ दो मानों  λ1, λ2 के बीच चक्रीय रूप से भिन्न होता है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य हैं?

संकल्पना:

तरंग-कण द्वैत के अनुसार, क्वांटम यांत्रिकी में डी-ब्रोग्ली तरंग दैर्ध्य स्थान में वस्तु को प्राप्त करने की प्रायिकता घनत्व निर्धारित करता है।

\(λ={h\over p}\)

जहाँ λ डी-ब्रॉग्ली तरंग दैर्ध्य है, h प्लैंक स्थिरांक है, और p संवेग है।

अब चूँकि p=mv

⇒\(λ={h\over mv}\)

व्याख्या:

मूल बिंदु की ओर निर्देशित बल के कारण कण मूल बिंदु के चारों ओर एक बंद कक्षा में घूम रहा है।

यदि पथ की प्रकृति वृत्तीय है तो कोणीय संवेग के संरक्षण के अनुसार

⇒mvr = स्थिर

बल है  \(F_c = {mv^2 \over R}\)

तब कोणीय संवेग स्थिर रहेगा लेकिन कोणीय संवेग स्थिर नहीं है बल्कि यह दो मान λ1 और  λ2 के बीच चक्रीय रूप से भिन्न होता है जहां  λ1 > λ2

हल:

कण का डी ब्रोगली तरंगदैर्घ्य λ1 > λ2 के साथ दो मानों  λ₁, λ₂ के बीच चक्रीय रूप से भिन्न होता है।

यह तब होगा जब कण एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में घूम रहा है जिसका मूल बिंदु  फोकस है। माना v₁ और v₂ कक्षा के दो भागों में दो वेग हो।

\(λ_1={h_1\over mv_1}\) और \(λ_2={h_2 \over mv_2}\)

इस प्रकार दो तरंग दैर्ध्य के बीच का अनुपात है

∴ λ₁ : λ₂ = v₂ : v₁

चूंकि λ₁ > λ₂ 

∴ v₂ > v₁

चूँकि कक्षा प्रकृति में दीर्घवृत्तीय है, इसलिए एक क्षेत्र दूसरे क्षेत्र की तुलना में मूल बिंदु के अधिक निकट होगा।

इस प्रकार जब डी ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य λ2 है तो कण मूल बिंदु के निकट होता है जब इसका मान λ1 होता है।

सही उत्तर विकल्प (4) हैं।