यदि g₁ पृथ्वी की त्रिज्या के आधे के बराबर ऊँचाई पर पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण त्वरण है और g₂ पृथ्वी की त्रिज्या के आधे के बराबर गहराई पर पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण त्वरण है तो g₁ से g₂ का अनुपात ज्ञात कीजिए।

अवधारणा:

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण:

• पृथ्वी द्वारा किसी निकाय पर लगाए गए आकर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण खिंचाव या गुरुत्वाकर्षण कहा जाता है।
• हम जानते हैं कि जब कोई बल किसी निकाय पर कार्य करता है, तो वह त्वरण उत्पन्न करता है। इसलिए, गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के प्रभाव में एक निकाय को तेजी से बढ़ना चाहिए।
• गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में किसी निकाय की गति में उत्पन्न त्वरण को गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कहा जाता है, इसे g द्वारा दर्शाया जाता है।

• पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है,

\(⇒g = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\)

• पृथ्वी की सतह के ऊपर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण इस प्रकार दिया गया है,

\(⇒ g_{h}=\frac{g}{\left ( 1+\frac{h}{R} \right )^2}\)

यदि h <<< R

\(⇒ g_{h}=g\left ( 1-\frac{2h}{R} \right )\)

• पृथ्वी की सतह के नीचे गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण इस प्रकार दिया गया है,

\(⇒ g_{d}=g\left ( 1-\frac{d}{R} \right )\)

गणना:

• पृथ्वी की त्रिज्या के आधे के बराबर ऊँचाई पर पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण त्वरण (h = R/2) के रूप में दिया जाता है।

\(⇒ g_{1}=\frac{g}{\left ( 1+\frac{h}{R} \right )^2}\)

\(⇒ g_{1}=\frac{g}{\left ( 1+\frac{R}{2R} \right )^2}\)

\(⇒ g_{1}=\frac{4g}{9}\)        -----(1)

• पृथ्वी की त्रिज्या के आधे के बराबर गहराई पर पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण त्वरण (d = R/2) के रूप में दिया जाता है।

\(⇒ g_{2}=g\left ( 1-\frac{d}{R} \right )\)

\(⇒ g_{2}=g\left ( 1-\frac{R}{2R} \right )\)

\(⇒ g_{2}=\frac{g}{2}\)        -----(2)

समीकरण 1 और समीकरण 2 से,

\(⇒ \frac{g_{1}}{g_2}=\frac{4g}{9}\times\frac{2}{g}\)

\(⇒ \frac{g_{1}}{g_2}=\frac{8}{9}\)

• अत: विकल्प 2 सही है।

Additional Information 

• पृथ्वी की सतह के नीचे गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण निम्नानुसार दिया गया है:
• मान लीजिए कि M पृथ्वी का द्रव्यमान है, R पृथ्वी की त्रिज्या है और पृथ्वी की सतह से गहराई d पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण है
• g पृथ्वी की सतहों पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण होना चाहिए।
• ρ  पृथ्वी का घनत्व होना चाहिए।
• P पृथ्वी की सतहों से गहराई पर पृथ्वी के अंदर का बिंदु हो।
• ′

  ∴ CS - CP = d, ∴ CP = R - d      ..............(1) (चूँकि CS = R)

  \(\rm g=\frac{GM}{R^2}\)

  ∴ g = \(\rm g=\frac{G\frac{4}{3}\pi R ^3P}{R^2}\)

  ∴ \(\rm g=\frac{G\pi R P}{3}\) .............(2)

  

   gd = गहराई 'd' पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

\(\rm g_d=\frac{G\times Mass\ of\ the \ sphere\ with\ radius\ CP}{Cp^2}\)

\(\rm g_d=\frac{G\frac{4}{3}\pi CP ^3\rho}{CP^2}\)

\(\rm g_d=\frac{G\frac{4}{3}\pi CP ^3\rho}{CP^2}\)...................(3)

समीकरण (3) को समीकरण (2) से विभाजित करना

\(\rm \frac{g_d}{g}=\frac{CP}{R}=\frac{R-d}{R}\)

∴ \(\rm g_d=g\left(1-\frac{d}{R}\right)\)