Question
Download Solution PDFलंबाई 'a' के एक-विमीय बॉक्स में संपाशित द्रव्यमान m के एक कण की न्यूनतम ऊर्जा होगी:
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसही विकल्प-2
अवधारणा:
बॉक्स में कण जैसे प्रश्न श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है, जो एक सरलीकृत निकाय के लिए एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल है, जिसमें एक कण अनंत गहराई के कुंड के भीतर क्षैतिज रूप से गति कर रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता।
इस प्रश्न के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ के संभावित मान देते हैं, जो कण के पास हो सकते हैं। अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर कण को खोजने की प्रायिकता एक निश्चित ऊर्जा स्तर पर देता है।
एक-विमीय बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्ष है, जो एक अनंत गहराई के कुंड के अंदर सीमित एकल कण की स्थानांतरणीय गति का वर्णन करता है।
व्याख्या:
एक-विमीय बॉक्स में एक कण के प्रश्न में, यह माना जाता है कि बॉक्स के अंदर विभव शून्य है।
कण द्वारा धारित ऊर्जा और कुछ नहीं बल्कि कण की गतिज ऊर्जा होती है।
- एक विमीय बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमारे पास कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
- \(\psi (0)=\psi (a)=0\) अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
- हम दिए गए \(0\)
- प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:
\({{E}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}{{\pi }^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m{{a}^{2}}}\) जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..
यदि बॉक्स में कण की ऊर्जा शून्य है, तो यह कुंड के अंदर विराम में होगा और यह हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन करेगा। इस प्रकार, कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा शून्य के बराबर नहीं है।
इस प्रकार, बॉक्स के अंदर कण द्वारा धारित न्यूनतम ऊर्जा इस प्रकार दी गई है-
\({{E}_{1}}=\frac{{}{{\pi }^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m{{a}^{2}}}\)
इसलिए, विकल्प-2 सही उत्तर है।