निम्न में से कौन सा वक्र परवलय y² = 4ax को समकोण पर काटेगा ?

दिया गया है:

परवलय का समीकरण y2 = 4ax

संकल्पना:

दो वक्र एक दूसरे को समकोण पर तभी काटेंगे जब उनकी प्रवणता का गुणनफल -1 हो।

m₁m₂ = -1

हल:

परवलय y2 = 4ax की प्रवणता के लिए, मान लें कि प्रवणता m1 है 

y2 = 4ax का x के सापेक्ष में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करेंगे

⇒ 2y(dy/dx) = 4a

⇒ \( \frac {dy}{dx} = \frac{2a}{y}\)

⇒ m1 = \( \frac {2a}{y}\)

दिए गए विकल्प से यदि हम y = e−x/2a का x के सापेक्ष में अवकलन करते हैं,

तो हमें प्रवणता मिलेगी, मान लीजिए कि प्रवणता​ m₂ है 

⇒ \( \frac {dy}{dx} \) = e−x/2a (\( \frac { - 1}{2a}\))

⇒ \( \frac {dy}{dx} \) = y(\( \frac { - 1}{2a}\))

⇒ \( \frac {dy}{dx} \) = \( \frac {-y}{2a}\)

⇒ m₂ = \( \frac {-y}{2a}\)

अब, प्रवणतााओं का गुणनफल

⇒ m1m2 = (\( \frac {2a}{y}\))(\( \frac {-y}{2a}\))

⇒ m1m2 = -1

यह उपरोक्त मूल्यांकन से स्पष्ट है।

अतः विकल्प 4 सही विकल्प है।