Limit and Continuity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Limit and Continuity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

x = a पर फलन  f(x) संतत है, यदि \(\lim_{x\to a^{-}}\) f(x) = \(\lim_{x\to a^{+}}\)f(x) = f(a).

गणना:

दिया है: f(x) = \(\left\{\begin{array}{l}\rm mx+1, \text { if } x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin \rm x+n, \text { if } x>\frac{\pi}{2}\end{array}\right.\)

f(\(\frac{π}{2}\)) = m × \(\frac{π}{2}\) + 1

बाएँ पक्ष की सीमा = \(\lim_{h\to0}f(\frac{π}{2}-h)\,\)

\(=\,\lim_{h\to0}\,m\times \left(\frac{π}{2}-h\right) + 1 \)

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

बाएँ पक्ष की सीमा = m × \(\frac{π}{2}\) + 1

दाएँ पक्ष की सीमा = \(\lim_{h\to0}f(\frac{π}{2}+h)\,\)

\(=\,\lim_{h\to0}\,\sin\left(\frac{π}{2}+h\right) +n\)

सीमाओं का प्रयोग करने पर:

 \(=\sin \frac{π}{2}+n\)

दाएँ पक्ष की सीमा = 1 + n

x = \(\frac{π}{2}\) पर फलन के संतत होने के लिए, 

बाएँ पक्ष की सीमा = दाएँ पक्ष की सीमा = f(π/2)

⇒ m× \(\frac{π}{2}\) + 1 = 1 + n

⇒ n = \(\frac{mπ}{2}\)

सही उत्तर n = = \(\frac{mπ}{2}\) है। 

संकल्पना:

यदि कोई फलन किसी बिन्दु a पर सतत है, तो

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)\)

sin(∞) = a, जहाँ -1≤ a ≤ 1

गणना:

दिया गया है:

f(0) = 1

f(x) = x sin (1/x)

x = 0 पर सांतत्यता की जाँच करने पर

\(\rm \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = f(0)\)

बायाँ पक्ष 

= 0 × sin(∞)

= 0 

दायाँ पक्ष

= f(0) = 1

बायाँ पक्ष ≠ दायाँ पक्ष

अतः, x = 0 पर फलन असंतत है।

अवधारणा:

यदि कोई फलन x = a पर संतत है, तो L.H.L = R.H.L = f(a) 

 x = a  पर f(x) की बाएँ  पक्ष की सीमा (L.H.L)  \(\lim_{h\to0}\,f(a-h)\) है 

 x = a पर f(x) की दाएँ पक्ष की सीमा (R.H.L)  \(\lim_{h\to0}\,f(a+h)\) है 

गणना:

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x < 0 के लिए, f(x) = - x 

तो x > 0 और x < 0 के लिए फलन सतत है

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

अवधारणा:

फलन f(x), x = a पर सतत है, यदि

 f(a-) = f(a) = f(a+)

गणना:

दिया गया है, f(x) = |x| 

x ≥ 0 के लिए, f(x) = x

और x < 0 के लिए, f(x) = - x 

तो x > 0 और x < 0 के लिए फलन सतत है

x = 0 पर, 

f(0-) = f(0) = f(0+) = 0

⇒ f(x), x = 0 पर सतत है

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

संकल्पना:

\(\rm \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

गणना:

\(\rm \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} 2x \sin \left(\frac{4} {x}\right)\)

= \(\rm 2 \times \displaystyle \lim_{x → ∞} \frac{\sin \left(\frac{4} {x}\right)}{\left(\frac{1}{x} \right )}\)

= \(\rm 2 \times \displaystyle \lim_{x → ∞} \frac{\sin \left(\frac{4} {x}\right)}{\left(\frac{4}{x} \right )} \times 4\)

माना कि \(\rm \frac {4}{x} = t\) है। 

यदि x → ∞ है, तो t → 0 है। 

= \(\rm 8 \times\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} \)

= 8 × 1 

= 8 

धारणा:

• 1 - cos 2θ = 2 sin2 θ
• \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{\sin x}}{x} = 1\)

गणना:

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{{{\left( {1 - \cos2x} \right)}^2}\;}}{{{x^4}}}\)

= \(\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{{{\left( {2{{\sin }^2}x} \right)}^2}}}{{{x^4}}}\)          (1 - cos 2θ = 2 sin² θ)

= \(\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;\;\frac{{4{{\sin }^4}x}}{{{x^4}}}\)

= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 4\; × \;{\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^4}\)

= 4 × 1 = 4

संकल्पना:

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} \left[ {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right] = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x\; \to \;a} g\left( x \right)}},\;provided\;\mathop {\lim }\limits_{x\; \to a} g\left( x \right) \ne 0\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan x}}{x}} = 1\)

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+x)}}{x}} = 1\)

गणना:

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+2x)}{\tan 2x}\)

\(\rm = \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{\log (1+2x)}{2x} \times 2x}{\frac{\tan 2x}{2x} \times 2x}\\= \frac{\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+2x)}{2x} }{\mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tan 2x}{2x} }\)

चूँकि हम जानते हैं कि \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan x}}{x}} = 1\) और  \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+x)}}{x}} = 1\)

इसलिए, \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\tan 2x}}{2x}} = 1\) और \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\; \to 0} {\frac{{\log (1+2x)}}{2x}} = 1\)

अतः \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\log (1+2x)}{\tan 2x} = \frac 1 1=1\)

गणना:

हमें \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\) का मान ज्ञात करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\)       [रूप \(\frac{∞}{∞}\)]

यह सीमा \(\frac{∞}{∞}\) रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से 0 तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow ∞} \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}\)

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{x\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}\)

गुणक x, ∞ हो जाता है, जिसपर x, ∞ तक है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+2}}\)

= \(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\infty^2}+2}}=\frac{1}{\sqrt{0+2}}=\frac{1}{\sqrt 2}\)

गणना:

हमें \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\) का मान ज्ञात करना है। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\)       [रूप \(\frac{∞}{∞}\)]

यह सीमा \(\frac{∞}{∞}\) रूप का है, यहाँ, हम अंश और हर में से ∞ तक जाने के लिए एक गुणक को रद्द कर सकते हैं। 

\(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{{1+x^2}}\)

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{x^2\left({\frac {1}{x^2}+1}\right)}\)

गुणक x², x पर ∞ होते हुए ∞ तक झुकता है, इसलिए हमें अंश और हर से इस गुणक को रद्द करना है। 

= \(\rm \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{\left({\frac {1}{x^2}+1}\right)}\)

= \(\frac{1}{{\frac{1}{\infty^2}+1}}=\frac{1}{{0+1}}=1\)

संकल्पना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

गणना:

एक सीमा के अस्तित्व के लिए बाएं हाथ की सीमा और दाहिने हाथ की सीमा समान होनी चाहिए।

|x| के दो मूल्य हो सकते हैं

|x | = - x जब x है ऋणात्मक हो

|x| = x जब x धनात्मक हो।

\(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-} \dfrac{|x|}{x}\) = \(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{-x}{x} = -1\)

\(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{|x|}{x}\) = \(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{x}{x} = 1\)

यहाँ, \(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-} \dfrac{|x|}{x} \neq \rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{|x|}{x}\)

इसलिए, \(\rm \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{|x|}{x}\) मौजूद नहीं है ।

संकल्पना:

• माना कि f(x), x = c पर संतत है यदि 

बायां पक्ष = दायां पक्ष = f(c) का मान 

अर्थात्, \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{c}}^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{c}}^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( {\rm{c}} \right)\)

गणना:

\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\; = \;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\)            (a ϵ वास्तविक संख्याएँ)

\(= \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{\;}}{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 2{\rm{x}} + 6\)

\(= \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{\;}}{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} + 6\)

\(= {{\rm{a}}^2} - 5{\rm{a}} + 6\)

∴ f(x) = f(a), इसलिए सभी स्थान पर संतत है

महत्वपूर्ण सुझाव:

द्विघात और बहुपद फलन उनके डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर संतत है। 

संकल्पना:

परिभाषा:

• यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख बिंदु x = a पर एकल अखंडित वक्र है, तो फलन f(x) को इसके डोमेन में उस बिंदु पर निरंतर कहा जाता है।
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

सूत्र:

• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)
• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\)

गणना:

चूँकि f(x), x = 0 पर निरंतर है, इसलिए, \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)  है।

साथ ही, \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)\) है, क्योंकि f(x), x > 0 और x < 0 के लिए समान है।

 \(\rm \therefore \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)

\(\rm \Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{e^{2x}-1}=k-2\)

\(\rm \Rightarrow \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin 3x}{3x}\times3x}{\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\times2x}=k-2\)

\(\rm \Rightarrow \dfrac{3}{2}=k-2\)

\(\rm \Rightarrow k=\dfrac{7}{2}\).

संकल्पना:

• \(\rm \displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1\).
• \(\rm \dfrac{d}{dx}\tan x=\sec^2x\).
• \(\rm \dfrac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x\).
• \(\rm \dfrac{d}{dx}\left[f(x)\times g(x)\right]=f(x)\dfrac{d}{dx}g(x)+g(x)\dfrac{d}{dx}f(x)\).

अनिश्चित रूप: वह समीकरण जिसका मान \(\dfrac00\), \(\pm\dfrac{\infty}{\infty}\), 0⁰, ∞⁰ इत्यादि की तरह परिभाषित नहीं हो सकता है। 

• अनिश्चित रूप \(\dfrac 0 0\) के लिए सर्वप्रथम संयुग्म के साथ गुणा करके इसका परिमेयकरण करने की कोशिश कीजिए या केवल अंश और हल में कुछ पदों को रद्द करके सरलीकृत कीजिए। अन्यथा, L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग कीजिए। 
• L हॉस्पिटल का नियम: अवकलनीय फलन f(x) और g(x) के लिए \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f(x)}{g(x)}\) है, यदि f(x) और g(x) दोनों 0 है या यदि यह मौजूद है, तो ±∞ (अर्थात् अनिश्चित रूप), \(\rm \displaystyle \lim_{x\to c} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\) के बराबर है। 

गणना:

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\dfrac00\) एक अनिश्चित रूप है। तो हम इसे सरलीकृत करते हैं और L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं। 

\(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=\lim_{x\to 0}\left[\dfrac{\tan x - x}{x^3}\times\dfrac{x}{\tan x}\right]\).

हम जानते हैं कि \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\tan x}=1\) है, लेकिन \(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}\) फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम L हॉस्पिटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x - 1}{3x^2}= \lim_{x\to 0}\dfrac{2\sec x(\sec x\tan x)}{6x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}\), जो फिर भी एक अनिश्चित रूप है, इसलिए हम फिर से L हॉसिपटल नियम का प्रयोग करते हैं:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\tan x}{3x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sec^2 x\sec^2 x+\tan x[2\sec x(\sec x \tan x)]}{3}=\dfrac{1}{3}\).

∴ \(\rm \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x - x}{x^2 \tan x}=1\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\).

संकल्पना:

परिभाषा:

• एक फलन f(x) को इसके डोमेन में एक बिंदु x + a पर निरंतर कहा जाता है, यदि \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\) मौजूद है या यदि इसका आलेख उस बिंदु पर एकल अखंडित वक्र है। 
• f(x), x = a पर निरंतर है ⇔ \(\rm \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).

गणना:

x ≠ 0 के लिए दिए गए फलन को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

\(\rm f(x) = \left\{ \begin{matrix} \rm \frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}; & \rm x \ne 0 \\ \rm K; & \rm x = 0 \end{matrix}\right.\)

चूँकि फलन का समीकरण x < 0 और x > 0 के लिए समान है, हमारे पास निम्न है:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x-\sin^{-1} x}{2x + \tan^{-1} x}\)

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2- \frac {\sin^{-1} x} x}{2 +\frac {\tan^{-1} x} x} = \frac {2-1}{2+1} = \frac 1 3\)

x = 0 पर फलन को निरंतर होने के लिए, हमारे पास निम्न होना चाहिए:

\(\rm \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=f(0)\)

⇒ K = \(\dfrac{1}{3}\)