Motion in Two and Three Dimensions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Motion in Two and Three Dimensions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

मान लीजिए कि चकती की त्रिज्या r₀ है और घूर्णन का आवर्तकाल T = 2π / ω है।

मान लीजिए कि प्रक्षेपण के समय कंकड़ Q बिंदु (0, y₀) पर है। प्रक्षेप्य गति के लिए, मान लीजिए कि r परास है और t उड्डयन काल है। दिया गया है कि t < T / 8 और r < r₀ / 2 है।

डिस्क का घूर्णन कंकड़ों को अतिरिक्त प्रारंभिक वेग प्रदान करता है जो दिया गया है:

ΔūQ = −y₀ω î और ΔūP = r₀ω î

ये अतिरिक्त वेग प्रक्षेपण के तल के लंबवत हैं। उड़ान का समय t इन वेगों से प्रभावित नहीं होता है। हालाँकि, वे x-दिशा में अतिरिक्त विस्थापन लाते हैं:

Δr̄Q = −y₀ωt î और Δr̄P = r₀ωt î

इसलिए नए अवतरण बिंदु Q₁ और P₁ इन संबंधित दूरियों से विस्थापित होते हैं।

त्रिभुज OQ₁Q′₁ से:

θ = tan⁻¹ (y₀ωt / (y₀ + r)) ≤ tan⁻¹ (ωt) ≤ ωt

इसलिए कोण θ उस कोण से कम है जिसके माध्यम से चकती समय t में घूमती है। इसलिए, अवतरण बिंदु Q′₁ अछायांकित क्षेत्र में स्थित है।

कंकड़ P के लिए, क्षैतिज विस्थापन r₀ωt है, और उपस्थित कोण भी ωt है। लेकिन चकती की ज्यामिति से, बिंदु P′₁ का कोण ωt से अधिक है। इसलिए, P′₁ भी अछायांकित क्षेत्र में स्थित है।

उत्तर: (C) P और Q दोनों अछायांकित क्षेत्र में आते हैं।

सही विकल्प: (4) 15 min, 120 km/h है। 

t1 = 30 min = 1/2 hr

t2 = 10 min = 1/6 hr

V_B = बस की चाल

V_g = स्कूटी (लड़की) की चाल

d = (VB − Vg) × t1 = (VB + Vg) × t2

⇒ (VB − 60) × 1/2 = (VB + 60) × 1/6

⇒ 3VB − 180 = VB + 60

⇒ 2VB = 240 = 120 km/h

दूरी = (V_B − V_S) × t₁

D = (120 − 60) × 1/2 = 30 km

t = d / VB = 30 / 120 = 1/4 hr = 15 min

गणना:
At = ωx

y = (1/2)at²

y = (1/2)a(ω²x² / a²)

y = (ω²x²) / 2a

संकल्पना:

वृत्ताकार गति में आवर्तकाल

• वृत्ताकार गति का आवर्तकाल (T) एक पूर्ण चक्कर पूरा करने में लगा समय होता है।
• यह कोणीय वेग (ω) से इस सूत्र द्वारा संबंधित है:

  T = ^2π/_ω

व्याख्या:

• कोणीय वेग (ω) = 2π rad/s
• सूत्र का उपयोग करके:
  • T = ^2π/_ω
  • T = ^2π/_2π
  • T = 1 सेकंड

इसलिए, कार की वृत्ताकार गति का आवर्तकाल (T) 1 सेकंड है।

गणना:

उड़ान के समय के सूत्र का उपयोग करते हुए:

⇒ 1 = (2 × v × sin 45°) / 10

⇒ 1 = (2 × v × (1/√2)) / 10

⇒ 1 = (v × √2) / 10

⇒ v = 10 / √2

⇒ v = √50 m/s

∴ आवश्यक वेग (v) √50 m/s है।

दिया गया है,

किरण 360 मीटर की दूरी तय करने में लगने वाला समय = 2 मिनट 

अवधारणा:

औसत चाल  = कुल दूरी/केएल समय 

औसत वेग  = विस्थापन/लिया गया समय 

जहां , विस्थापन= प्रारंभिक और परिष्करण बिंदु के बीच की दूरी

गणना:

∵ किरण एक छोर से दूसरे छोर तक तैरती है और उसी शुरुआती बिंदु पर लौट आती है।

⇒ विस्थापन = 90 – 90 + 90 – 90 = 0 मीटर 

1 मिनट= 60 सेकेंड

∴ किरण की औसत वेग = 0/120 = 0 ms^-1

अवधारणा:

• गति का समीकरण: किसी गतिशील वस्तु पर कार्य करनेवाले बल पर विचार किए बिना किसी गतिशील वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण स्थिर होता है और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण होते हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के तहत निकाय द्वारा तय की गई दूरी, a = गति के तहत निकाय का एक त्वरण और गति के तहत निकाय द्वारा लिया गया समय = t

व्याख्या

v = 30 मीटर/सेकेंड, u = 10 मीटर/सेकेंड, a = 4 मीटर/सेकेंड2

हम जानते हैं कि,

⇒ v2 = u2 + 2aS

⇒ 2aS = v2 – u2

⇒ 2 × 4 × S = 900 - 100

⇒ 8S = 800

​⇒ S = 800/8 = 100 मीटर

अवधारणा:

शुद्धगतिकी के समीकरण:

• शुद्धगतिकी के समीकरण: एकसमान त्वरण के साथ गतिमान कण के लिए u, v, a, t और s के बीच के विभिन्न संबंध निम्न अनुसार हैं, जहां इस प्रकार संकेतों का उपयोग किया जाता है:
• गति के समीकरणों को इस रूप में लिखा जा सकता है

⇒ V = U + at

\(⇒ s =Ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

⇒ V2 = U2 + 2as

जहां, U = आरंभिक वेग, V = अंतिम वेग, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, t = समय, और h = ऊँचाई /तय की गई दूरी

वेग:

• कण के वेग को उसके विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है-

\(\vec v = \frac{{\overrightarrow {dx} }}{{dt}}\)

त्वरण:

•  कण के त्वरण को इसके वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है-

\(\vec a = \frac{{\overrightarrow {dv} }}{{dt}}\)

​गणना :

दिया गया है:

एक गेंद को 240 मीटर ऊंची मीनार से 40 m/s की गति से ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर फेंका जाता है।

मीनार की ऊँचाई = - 240 m

गुरुत्वीय त्वरण (a) = - 10 m/s²

गति के दूसरे समीकरण द्वारा,

\(⇒ s =Ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

उपर दिए गए समीकरण में u, s, और a के' मान रखने पर

हमें प्राप्त होता है,

\(⇒ -240 =(40\times t)+\left ( \frac{1}{2}\times -10\times t^{2} \right )\)

⇒ - 240 = 40t - 5t2

• यहाँ, गेंद धनात्मक मानते हुए बिंदु B से C तक ऊपर की ओर जा रही है और ऋणात्मक मानते हुए बिंदु C से D तक नीचे की दिशा में वापस आती है। इसलिए, BC = -CD के कारण BC और CD  दोनों दूरी को रद्द करें। फिर से गेंद ऋणात्मक कहते हुए बिंदु D से E तक नीचे की दिशा में वापस आती है। इसलिए, गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी -240 मीटर है।
• जब गेंद गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ ऊपर की ओर जाती है, तो विस्थापन को धनात्मक माना जाता है और गुरुत्वाकर्षण ऋणात्मक होता है। अब, जब गेंद नीचे आती है, तो विस्थापन को ऋणात्मक माना जाता है और गुरुत्वाकर्षण धनात्मक होता है।

⇒ 5t2 - 40t - 240 = 0

⇒ t2 - 8t - 48 = 0

हल करने पर,

हम t = 12 sec और t = - 4 sec प्राप्त करते हैं, समय का धनात्मक मूल्य लेते हुए

⇒ t = 12 sec

Alternate Method

गणना​:

दिया गया है:

गेंद को 40 मीटर/सेकंड की गति (ui) के साथ लंबवत रूप से ऊपर फेंका जाता है।

टावर की ऊँचाई (s) = 240 m

गुरुत्वाकर्षण त्वरण (a) = 10 m/s2

जब गेंद टॉवर के ऊपर से फेंकती है, तो यह बिंदु B से E तक की दूरी तय करेगी, अर्थात

BE = BC + CD + DE

विस्थापन BE के लिए आवश्यक कुल समय होगा T = t1 + t2

जहाँ, t1  BC + CD के लिए समय और t2 =  DE के लिए से

दूरी BC + CD के लिए आवश्यक समय 

\(t_1 = \frac{2u_i}{g}\)

\(t_1 = \frac{2 \times 40}{10}\)

t1 = 8 sec

दूरी DE के लिए आवश्यक समय:

गेंद द्वारा तय की गई दूरी 240 मीटर है जिसमें 40 मीटर/सेकंड का वेग है जिसमें गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है।

\(⇒ s = ut +\frac{1}{2}at^2 \)

\(⇒ 240 = 40 \times t_2 +\frac{1}{2}10\times t^2 _2\)

\(⇒ 240 = 40 t_2 +5 t^2 _2\)

\(⇒ 5 t^2 _2+40 t_2 -240=0\)

t2 = 4 sec

इसलिए, विस्थापन के लिए आवश्यक कुल समय, T = t1 + t2

T = 8 + 4 = 12 sec

अवधारणा :

• प्रक्षेपण का कोण: किसी क्षैतिज तल से किसी निकाय के प्रारंभिक वेग के बीच का वह कोण जिससे निकाय फेंका जाता है, प्रक्षेपण के कोण के रूप में जाना जाता है।
  • प्रक्षेपण का कोण जिसके लिए प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई क्षैतिज सीमा के बराबर है, को निर्धारित करना होगा।
  • एक शरीर को दो तरीकों से पेश किया जा सकता है:
    1. क्षैतिज प्रक्षेपण- जब निकाय को केवल क्षैतिज दिशा में एक प्रारंभिक वेग दिया जाता है।
    2. कोणीय प्रक्षेपण- जब निकाय को क्षैतिज दिशा में कोण पर प्रारंभिक वेग के साथ फेंका जाता है।
• प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई: यह तब होता है जब प्रक्षेप्य शून्य ऊर्ध्वाधर वेग तक पहुंचता है जिसे अधिकतम ऊंचाई कहा जाता है।
  • इस बिंदु से, वेग सदिश का ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर इंगित करेगा।
  • प्रक्षेप्य के क्षैतिज विस्थापन को प्रक्षेप्य की सीमा कहा जाता है और वस्तु के प्रारंभिक वेग पर निर्भर करता है।

सूत्र:

\(H = \frac{{\mathop V\nolimits_O^2 {{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}θ }}{{2g}}\)

जहाँ, H अधिकतम ऊँचाई है, v_o = प्रारंभिक वेग, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, θ = क्षैतिज समतल (रेडियन या डिग्री) से प्रारंभिक वेग का कोण है।

गणना :

दिया है कि, v = u / 2

अधिकतम ऊंचाई पर, ऊर्ध्वाधर वेग घटक समाप्त हो जाता है और केवल क्षैतिज घटक मौजूद होता है

माना कि v अधिकतम ऊंचाई H पर प्रक्षेप्य का वेग है

v = ucosθ

दी गई समस्या के अनुसार, v = u / 2

\(\therefore \frac{u}{2} = u\cos θ \to \cos θ = \frac{1}{2}\)

θ = 60° 

सही विकल्प 60 ° है।

व्याख्या:

अभिकेंद्री बल: यह पिंड को एक समान रूप से एक वृत्तीय गति में गति करने के लिए आवश्यक बल है। यह बल त्रिज्या अनुरूप और वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है।

• जब कोई पिंड किसी वृत्त में गति करता है, तो किसी भी क्षण पर इसकी गति की दिशा वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुरूप होती है। लेकिन न्यूटन के गति के पहले नियम के अनुसार कोई भी पिंड अपनी दिशा को स्वयं नही बदल सकता है, इसके लिए एक बाह्य बल की आवश्यकता होती है। यह बाह्य बल अभिकेंद्री बल है।

\({\bf{Centripetal}}\;{\bf{Force}}\;\left( {\bf{F}} \right) = \frac{{m{v^2}}}{r}\;\left[ {{\rm{m}} = {\rm{mass}},{\rm{\;v}} = {\rm{velocity}},{\rm{\;r}} = {\rm{radius}}} \right]\)

• सड़क की सतह के साथ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल मोड़ के केंद्र की ओर लगता है। टायर और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात – 5 m/s.

अवधारणा:

• वेग (v): विस्थापन में परिवर्तन की दर को वेग कहा जाता है।
• त्वरण (a): वेग में परिवर्तन की दर को त्वरण कहा जाता है।

मान लीजिये एक कण का विस्थापन x है।

गणना:

दिया गया है:

 x = 2 – 5t + 6t2

वेग, v = \(\frac{dx}{dt} = \frac{d(2\: –\: 5t \:+ \:6t^2)}{dt}=\) -5 + 12t

प्रारंभिक वेग निकाय का वेग है जब समय अंतराल शून्य होता है या जब निकाय अपनी गति आरंभ करता है।

∴ t = 0 पर , प्रारंभिक वेग, v = - 5 + 12(0) = - 5 m/s

व्याख्या:

दूरी: 

• इसे एक पिंड द्वारा तय किये गए पथ की लम्बाई कहा जाता है।
• यह एक अदिश राशि है।
• इसका मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
• यह वृत्तीय गति में अशून्य होता है।

​विस्थापन

• यह कण की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है।
• यह एक सदिश राशि है।
• यह घनात्मक, ऋणात्मक और शून्य हो सकता है।
• यह वृत्तीय गति में शून्य होता है।

जब एक वस्तु बिना दिशा बदले एक सीधी रेखा में गति करती है तो दूरी और विस्थापन का परिमाण बराबर होगा।

• जब एक वस्तु गति के दौरान अपनी दिशा बदलती है तो उसके पथ की लम्बाई प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की दूरी की तुलना में अधिक हो जाती है, इसलिए इस स्थिति में दूरी का परिमाण विस्थापन से अधिक हो जाता है।
• अतः, दूरी सदैव विस्थापन से अधिक या उसके बराबर होगी।

अवधारणा:

क्षैतिज परास में प्रक्षेप्य का कोण, क्षैतिज दूरी में अधिकतम अंतराल होता है।

\({\rm{R}} = \frac{{{{\rm{u}}^2}\sin 2{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

प्रक्षेप्य द्वारा तय किए गए अधिकतम ऊर्ध्वाधर अंतराल की ऊँचाई।

\({\rm{h}} = \frac{{{{\rm{v}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

गणना:

दो कणों को एक ही बिंदु से समान गति से, समान परास और भिन्न ऊँचाई में प्रक्षेपित किया जाता है।

माना दोनों कण p₁ और p₂ हैं।

तो, कण p1 के प्रक्षेप्य का कोण θ है और कण p2 का 90 - θ है

प्रक्षेप्य गति का परास निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

\({\rm{R}} = \frac{{{{\rm{u}}^2}\sin 2{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

∵ [sin 2θ = 2 sin θ cos θ]

\({\rm{R}} = \frac{{2{{\rm{u}}^2}{\rm{sin\theta cos\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई निम्न सूत्र द्वारा दिया जाती है:

\({\rm{h}} = \frac{{{{\rm{v}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

कण p1: (गति ‘u’)

अब, कण p₁ की प्रक्षेप्य गति का परास है:

\( \Rightarrow {{\rm{R}}_1} = \frac{{2{{\rm{u}}^2}{\rm{sin\theta cos\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

अब, कण p1 की प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई है:

\( \Rightarrow {{\rm{h}}_1} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

\( \Rightarrow 2{{\rm{h}}_1} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\) (1)

कण p2: (गति ‘u’)

अब, कण p2 की प्रक्षेप्य गति का परास है:

\( \Rightarrow {{\rm{R}}_2} = \frac{{2{{\rm{u}}^2}{\rm{sin\theta cos\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

अब, कण p2 की प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई है:

\( \Rightarrow {{\rm{h}}_2} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {90 - {\rm{\theta }}} \right)}}{{2{\rm{g}}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{h}}_2} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

\( \Rightarrow 2{{\rm{h}}_2} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\) ---- (2)

दोनों कणों का परास समान है।

अब, विकल्पों से, R2, h₁ और h₂ से संबंधित है।

इसलिए,

\( \Rightarrow {{\rm{R}}^2} = \frac{{4{{\rm{u}}^4}{{\sin }^2}{\rm{\theta }}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{{{\rm{g}}^2}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{R}}^2} = 4\left( {\frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}} \right) \times \left( {\frac{{{{\rm{u}}^2}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}} \right)\)

उपर्युक्त समीकरण में समीकरण (1) और (2) प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ R2 = 4(2h1)(2h2)

अवधारणा:

• प्रक्षेप्य गति

​

• प्रक्षेप्य गति केवल गुरुत्वीय त्वरण के अधीन हवा में प्रक्षेपित निकाय की गति है। निकाय को प्रक्षेप्य कहा जाता है और इसके मार्ग को उसका प्रक्षेप पथ कहा जाता है।

  • प्रारंभिक वेग: प्रारंभिक वेग x घटकों और y घटकों के रूप में दिया जा सकता है।

ux = u cosθ

uy = u sinθ

जहां u प्रारंभिक वेग परिमाण है और θ प्रक्षेप्य कोण को संदर्भित करता है ।

व्याख्या:

• अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के लिए लिया गया समय: यह उड़ान के कुल समय का आधा है।

\(\Rightarrow {{\rm{T}}_{1/2}} = \frac{{{\rm{v\;sin\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

जहां T_1/2 = प्रक्षेप्य द्वारा अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय, g=गुरुत्वीय त्वरण और v = वेग

• उड़ान का समय: प्रक्षेप्य गति की उड़ान का समय, वह समय है जब निकाय को सतह तक पहुंचने के समय तक प्रक्षेपित किया जाता है।

\(\Rightarrow {\rm{T}} = \frac{{2{\rm{\;v\;sin\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

जहां T प्रक्षेप्य द्वारा लिया गया कुल समय है, g गुरुत्वीय त्वरण है।

• परास: गति का परास स्थिति y = 0 द्वारा तय किया जाता है। 

\(\Rightarrow R = \frac{{{v^2}sin2\theta }}{g}\)

जहां R प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई कुल दूरी है।

• अधिकतम ऊंचाई: यह प्रक्षेपण के बिंदु से अधिकतम ऊंचाई है, जहां तक एक प्रक्षेप्य पहुंच सकता है
• अधिकतम ऊंचाई की गणितीय अभिव्यक्ति है

\(\Rightarrow H = \frac{{{v^2}{{\sin }^2}\theta }}{{2g}}\)

सही उत्तर विकल्प 4 है अर्थात उपरोक्त सभी

अवधारणा:

• वृताकार गति: वृत्ताकार पथ पर किसी वस्तु की गति को वृताकार गति कहते हैं।
• अभिकेंद्री बल: यह एक वृत्ताकार गति के पथ से गुजरने वाली वस्तु पर कार्य करने वाला एक शुद्ध बल है, इस प्रकार कि बल वक्रता के केंद्र की ओर एक दिशा में कार्य करता है।

व्याख्या:

• एक वृत्त को एक ऐसा बहुभुज माना जाता है जिसकी अनंत भुजाएँ इस प्रकार हों कि प्रत्येक भुजा एक बिंदु के सन्निकट हो।
• अतः वृत्ताकार पथ पर गतिमान वस्तु की दिशा में प्रत्येक बिंदु पर परिवर्तन होता है।
• चूँकि दिशा हर बिंदु पर बदलती है, तो वेग हर बिंदु पर बदलता है।
• इसके अलावा, एक अभिकेंद्री बल हमेशा किसी वस्तु पर वृत्ताकार गति के अधीन कार्य करता है क्योंकि यह वह बल है जो एक पिंड को एक वक्र पथ में रखता है।